线性代数中矩阵乘法的本质.pdf

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1、线性代数中矩阵乘法的本质一、线性空间1.1线性的含义线性代数里面的“线性”意思就是线性空间里的线性变换。线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义。中学里，函数f(x)=kx+b称为一元线性函数，因为在平面直角坐标系中这个函数的图形就是一条直线，所以把这种函数形象地称为“线性”函数。在线性代数中，为了线性函数的进一步推广，把一元线性函数f(x)=kx+b中的b去掉，即只有过原点的最简单的直线f(x)=kx才被称为一元线性函数，这是因为不过原点的直线不满足我们对线性函数的比例性的要求。线性函数的“线性”二字，体现在几何意义和代数意义2个方面：几何意义，

2、线性就是指几何上是一条线，称为线性；而代数意义上，线性体现在①可加性（对加法封闭）②比例性（对数乘封闭）。1.2、空间空间的概念比较抽象，简单来说，能装东西的就是空间。数学上定义，里面装了可以运算的东西就是空间。从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。就好像从水果这个泛型概念开始，一步步往上加定义，可以形成很多更加具体化的概念，如热带水果，甜的热带水果，苹果，红苹果等等。线形空间算是还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间；赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间；内积空间再满足完备性，就得到希

3、尔伯特空间；如果空间里装载所有类型的函数，就叫泛函空间。空间有一些具体特征，就好像水果这个泛指的概念也有一些属性来描述一样，空间具有以下属性特征：①由很多（实际上是无穷多个）位置点组成②这些点之间存在相对的关系③可以在空间中定义长度、角度④这个空间可以容纳运动上面的这些性质中，③比较特殊，其他的空间不需要具备，因此不是关键的性质，或者说一种泛有的性质，而④则是空间的本质，即容纳运动是空间的本质特征。事实上，无论是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合该空间规则的运动（或者叫做变换）。可以发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，

4、线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。因此只要知道，“空间”是一个容纳可以运动的对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。1.3、线性空间既然空间是一个容纳可以运动的对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。那么线性空间中的对象集合和线性空间中的运动（线性变换）是如何表示的呢？线性空间中的任何一个对象，通过选取坐标系(基)的办法，都可以表达为向量的形式。只要找到合适的坐标轴（也就是基），建立了一个坐标系，就可以用坐标（表示成向量的形式）表示线性空间里任何一个对象。换句话说，给你一个空间，你就能用基和坐标来描述

5、这个空间中的对象！这是因为向量表面上只是一列数，但是由于向量的有序性，除了这些数本身携带的信息之外，还在对应位置上携带信息。即向量携带的信息同时包含了位置信息以及这个位置上对应的数的本身的信息。这就是为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。那么，线性空间中的运动（线性变换）是如何表示的呢？二、矩阵的乘法2.1、线性空间中的“运动”线性空间中的运动，也就是为线性变换。根据第一章的定义可知，从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来

6、描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵乘法来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。即，在线性空间中选定基之后，向量（坐标）刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。因此，矩阵乘法的本质是线性空间中“运动”的施加。2.2“运动”的含义在人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了微积分中的连续性的概念。而连续这个概念，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。不过此处的“运动”的概念不是微积分中的

7、连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。但事实上，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们无法观察到。但是无论如何，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：“矩阵乘法是线性空间里跃迁的描述”。可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此

8、我们最后换用一个数学术语