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1、DOI:10.13391/j.cnki.issn.1674-7798.2002.04.004第13卷第4期贵州教育学院学报Vol.13,No.42002年8月JOURNALOFGUIZHOUEDUCATIONALCOLLEGEAug.2002矩阵乘法的来源和意义李长明(贵州教育学院,贵州贵阳550003)摘要:本文依据矩阵的乘法规则探寻出它的实际意义,再联系理论上的价值,揭示了矩阵乘法的必要性。关键词:矩阵;乘法;产量矩阵;原料矩阵;线性方程组;旋转变换中图分类号:O241.6文献标识码:C文章编号:1002-6983(2002)04-0013-03Sourc
2、eandmeaningofMatrixMultiplicationLIChang-ming(GuizhouEducationCollege,Guiyang,Guizhou550002,China)Abstract:Bymeansoftherulesandtheoreticalvalueofmatrixmultiplication,thepracticalmeaningandne-cessityoftheoperationofmatrixmultiplicationareexplained.Keywords:Matrix,multiplication,outpu
3、tmatrix,matrixofrawmaterials,systemoflinearequations,rota-tiontransformation矩阵是线性代数的一个主要内容,又是解决众多问题的有力工具。因此,深入理解矩阵运算的来龙去脉,对学好线性代数便会起到极其有益的作用。然而,在矩阵的运算中,矩阵的加法,数与矩阵之积,都与实数或向量中相应的运算较为一致,因而易于接受,便于掌握。唯独矩阵的乘法,则与学过的各种乘法大相径庭,相差甚殊,不仅初学者感到莫名其妙,难以接受,甚至学完这门课程仍大惑不解而心存疑窦。有鉴于此,本文试图以具体实例说明这种“奇异”的乘法
4、,并非空穴来风、无源之水,而是有它必然产生的缘由,以此加深我们的理解。一个实际问题设A1,A2,……Am是m个厂,它们都生产着n种产品B1,B2,……Bn,而Ai厂生产Bj的年产量为aij,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n.于是,对照每个工厂各种产品年产量的统计表(左),便得相应的产量矩阵A(右)。B1B2…Bj…Bn年产量阵A1a11a12…a1j…a1na11a12…a1j…a1nA2a21a22…a2j…a2na21a22…a2j…a2n……………A=………………Aiai1ai2…aij…ainai1ai2…aij…ain……………am1am2…a
5、mj…amnAmam1am2…amj…amn如果第二年各厂各种产品的产量皆是头一年的λ倍,这便是数乘矩阵λA的实际意义;如果计算各厂各种产量两年的总产量,相应的便是矩阵的加法。收稿日期:2001-12-20·14·贵州教育学院学报第13卷为看出矩阵乘法的实际意义,还应给出与各种产品所需原料的矩阵。设产品B1,B2,…,Bn皆需p种原料C1,C2,…Cp,而生产一件Bk所需原料Cj的数量为bkj,于是,统计各种产品每件所需的原料数表(左),便得单件原料矩阵(右)。C1C2…Cj…Cp单件原料阵B1b11b12…b1j…b1pb11b12…b1j…b1pB2b21
6、b22…b2j…b2pb21b22…b2j…b2p……………B=………………Bkbk1bk2…bkj…bkpbk1bk2…bkj…bkp……………bn1bn2…bnj…bmpBnbn1bn2…bnj…bmp现在需要计算各厂每年所需各种原料的总数,以便提前做好充分的准备。设Ai厂一年所需原料Cj的总数为cij,则各厂一年所需各种原料总数的统计表(左),便得一年原料总数矩阵。C1C2…Cj…Cp原料总数阵A1c11c12…c1j…c1pc11c12…c1j…c1pA2c21c22…c2j…c2pc21c22…c2j…c2p……………C=………………Aici1ci2
7、…cij…cipci1ci2…cij…cip……………cm1cm2…cmj…cmpAmcm1cm2…cmj…cmp显然,知道各厂各种产品的产量(A)和每件产品所需的各种原料数(B),则各厂所需的各种原料的总数(C)也随之而定,现在的问题是:如何从已知的A、B,计算出欲求的C?计算C,实际上就是计算各个cij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,p),为清楚起见,算cij之前,先将与之有关的两组数列表如下产品类型B1B2…Bk…Bn年产量ai1ai2…aik…ainA的第i行单件所需原料数b1jb2j…bkj…bnjB的第j列对每件产品来说,一年所需总料数=年产
8、量×单件所需原料数n故有cij=ai1
