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1、华北水利水电学院浅谈线性代数中矩阵的运算及其规律课程名称:线性代数专业班级:成员组成:联系方式:时间:2012年11月5日正文:1引言子茼要:矩阵的运算在线性代数中拥有无可替代的作用,是一项必须打牢的工作。本文就简要的多我们所学的线性代数中的基本的矩阵运算进行简要的阐述与再学习。关键词:行列式运算,转置运算,逆矩阵运算,伴随矩阵运算一.行列式的运算11阶行列式的计算方法很多,除非零元素较少时可利用定义计算(①按照某一列或某一行展开②完全展开式)外,更多的是利用行列式的性质计算,特别要注意观察所求题目的特点,灵活选用方法,值得注意的是,同一个行列式,有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法
2、,并举例说明。1.利用行列式定义直接计算010200计算行列式n-10••參••••參參00000n解:队中不为零的项用一般形式表示为H2•••、&="▼•该项列标排列的逆序数f(/?一1Z1—等于(n-l)(n-2)2(打-1)(”-2)(一1)2n.1.利用行列式的性质计算例:一个A2阶行列式A=
3、%•的元素满足%乂7=1,2,…,Z2,则称D,,为反对称行列式,证明:奇数阶反对称行列式为零.证明:由七=-6Z;7知%=-6Z"•,即%=0,/=1,2,…,,2故行列式可表示为A0«13…aXn一“1206Z23=—“13S0•••a3n番•參•••••••♦♦•♦•~a~Cl2n一
4、〜…0由行列式的性质0一“12~a3…-a°a!2^13…〜a20一“23…~a2n—“120a23a2nDfl=^13•••“23••<0•••…~a3n••<••<=(-ir—“23參參嚳0•••…〜••••••a2n…0~a2n^a3n…0当n为奇数时,得D„=—Dn,因而得队=0.2.化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变挽化为三角形,其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算屮的一个重要方法。化三角形法是将原行列式化为上(丁)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利川行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或
5、对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上,每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列或。但对于阶数高的行列或,在一般情况下,计算往往较繁。因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形,再将其化为三角形行列式。1—3-132-7-391-5计算行列式0=204-213-57-1464-410-102例1解这是一个阶数不高的数值行列式,通常将它化力上(下)三角行列式来计算.⑴+3⑴(3)-2(1)(4)-3(!)⑴-4(1)1-12-3100-10—20204—10-21-530022-2(2)e(3)1-12-310204-100-10-20-21-530022
6、-2(4)4-(2)1-12-310204-100-10-2001-120022-21-12-311-12-310304一1(5)+2(4)0204一100-10-200-10-2=-l-2(-l)(-l)(-6)=12.000-10000-100002-60000-6(小⑶⑸+2(3)1Cl,Cl飞…an1+0,a3…例2计算h阶行列式0=鑫蠹•a,蠹蠹蠹1+…analCha3…1+A解:这个行列式每一列的元素,相似,因此n列之和全同.将第2,3,一列的元素全是1.1+(6Z
7、++•…1+(6^+6Z7+•1+A…Afn1+(6Z
8、++•a,•••1+A•••…鮝⑩壽•攀•=/=•/1+
9、(6Z
10、++•a,…除了主对角线上的外,都是相同的,且各列的结构列都加到第一列上,就可以提出公因子且使第i=2,…,zzCl2a3…an1+a-ya3…a”ci2••拳1+6Z3…an■•參••馨“2A…1+6/1••-an010…01+&001…0/=1/••••••••拳••••••000…1⑺-⑴/•=2,".,"abb…bbab…b例3;计算《阶行列式0=b•••b•••a…••••••b•••bbb…a10ba-bb…0…b0=[6Z+(n-l)/?]0AAA0a-b…AAA、••0蠱鑫巍•••0•••0••••••0…•••a-b=[a+(n-l)b](a-/?)’卜1解:这个行
11、列式的特点是每行(列)元素的和均相等,根据行列式的性质,把第2,3,…,«列都加到第丨列上,行列式不变,得D=a+{n-X)bbabb…b…a…bbb=[a+(n-)b]111•參•bab番畚參b…b…a…•畚蠡蠡蠢•bbb參•蠢••••••b••••••b…•••a1bb…a注意:行列式与矩阵的区别:(1)行列式是一个数,而矩阵是一个数表.(2)行列式的行数、列数一定和同,但矩阵的行数、列数不