矩阵的加法及其运算规律

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1、★矩阵的加法及其运算规律★数与矩阵相乘及其运算规律★矩阵与矩阵相乘及其运算规律★矩阵的转置及其运算规律★方阵的行列式及其运算规律★共轭矩阵§2矩阵的运算下页关闭元素的运算及运算规律是代数研究的一个主要问题，矩阵作为一个新的元素，本节定义了相关的各种运算，以方便用矩阵解决问题。注意：只有两个同类型的矩阵才能相加。矩阵的加法及其运算规律定义2设有两个矩阵那么矩阵A与B的和记作规定为：上页下页返回加法运算满足下列运算规律（设A、B、C都是矩阵）：设矩阵记称为A的负矩阵。规定矩阵的减法为显然，上页下页返回数与矩阵相乘及其运算规律定义3或

2、规定为：数与矩阵的乘积满足下列运算规律（设A、B为矩阵上页下页返回注意：矩阵的相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。上页下页返回例上页下页返回设有两个线性变换矩阵与矩阵相乘若想求出从到的线性变换，可将(4)式代入(3)式，便得：上页下页返回线性变换（5）可以看着是先作线性变换（4）再作线性变换（3）的结果。称线性变换（5）为线性变换（3）与线性变换（4）的乘积。相应地，把线性变换（5）所对应的矩阵定义为（3）、（4）所对应的矩阵的乘积，即：上页下页返回定义4设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积的矩阵其中是

3、一个并把此乘积记作上页下页返回上页下页返回注：矩阵乘积上页下页返回必须注意：只有当第1个矩阵（左矩阵）的列数与第2个矩阵（右矩阵）的行数相等时才能相乘。上页下页返回的乘积AB。例4求矩阵其乘积AB=C是一个2×3的矩阵。解因为A是2×4矩阵，B是4×3矩阵，A的列数与B的行数相等，所以A与B可以相乘。上页下页返回注意：由于B的列数是3，而A的行数是2，因此BA没有意义。上页下页返回例5求矩阵解上页下页返回由例4和例5知，一般情况下，AB有意义，BA不一定有意义，即使BA有意义，也不一定有AB=BA，即矩阵的乘法不满足交换律。例5

4、还表明，由AB=AC不能推出B=C，并且AB=0也不能说明A=0或B=0，即矩阵的乘法不满足消去律。上页下页返回矩阵乘法的运算规律矩阵的乘法满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：对于单位阵E，容易验证或简写成EA=AE=A上页下页返回由于矩阵乘法不满足交换律，所以一般来说矩阵的n阶方阵的乘幂定义其中k是整数。注意：只有方阵才有乘幂的概念。乘幂满足下列运算规律：其中k,l为正整数。例如上页下页返回第1节例2中有一个四城市间单向航线矩阵A，为从i市经一次中转到j市的单向航线条数。由上页下页返回例如显示从②市经一次中转到③市的单向（

5、②→①→③）显示从④市经一次中转到②市的单向航线有1条。航线有2条。（④→①→②，④→③→②）显示③市没有双向航线。上页下页返回上节例3中的线性变换利用矩阵乘法，可记作其中上页下页返回Ex.3解Ex.5解上页下页返回定义5把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT。转置矩阵是矩阵的转置及其运算规律矩阵转置满足以下运算规律：例如矩阵上页下页返回我们只证明(4)。于是按公式（6），有因此上页下页返回设A为n阶方阵，如果满足则称A为对称阵。对称阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。另外，只有方阵才有

6、“对称”的意义。上页下页返回例6解法1因为所以已知上页下页返回解法2因为所以上页下页返回例7证所以H是对称阵。上页下页返回上页下页返回定义6由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），叫做方阵A的行列式，记作

7、A

8、或detA。方阵的行列式及其运算规律由A确定的

9、A

10、这个运算满足下列运算法则（设A、B为n阶方阵，λ为数）：只证(3)。上页下页返回设A=（aij），B=（bij），记2n阶行列式由第一章例10可知D=

11、A

12、

13、B

14、。上页下页返回都加到第n+j列上（j=1,2,…,n)，而在D中以b1j乘第1列，b2j乘第2列

15、，…，bnj乘第n列，有上页下页返回于是有D=（-1）n

16、-E

17、

18、C

19、=(-1)n(-1)n

20、C

21、=

22、A

23、

24、B

25、.所以

26、AB

27、=

28、A

29、

30、B

31、。再对D作行变换上页下页返回Ex.11解上页返回称为A的伴随阵，试证AA*=A*A=

32、A

33、E。例8行列式

34、A

35、的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下方阵上页下页返回证类似地有证毕上页下页返回运算规律（设A、B是复矩阵，λ是复数）：共轭矩阵上页下页返回Ex.7Ex.8解解上页下页返回