线性代数 矩阵 第1节 矩阵及其运算

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1、第二章矩阵与行列式§2.1矩阵的基本概念一.历史“矩阵(matrix)”这个词首先是英国数学家西尔维斯特使用的.他为了将数字的矩形阵列区别于行列式(determinant)而发明了这个述语.JamesJosephSylvester(1814.9.3~1897.3.15)§2.2§2.3§2.4§1.5英国数学家凯莱被公认为是矩阵论的创立者.他首先把矩阵作为一个独立的数学概念,并发表了一系列关于这个题目的文章.ArthurCayley(1821.8.16~1895.1.26)第二章矩阵与行列式§

2、2.1矩阵概念例1.某厂家向A,B,C三个商场发送四款产品.200180190100120100150160140180150150第二章矩阵与行列式§2.1矩阵概念2050302516201616甲乙丙丁单价重量二.实例第二章矩阵与行列式§2.1矩阵概念例2.四个城市间的单向航线如图所示.1423若用aij表示从i市到j市航线的条数,则上图信息可表示为a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44即0111100001001010三.定义1.m

3、n矩阵元素(element/entry)aij(1im,1jn)a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn注:今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都是实矩阵.第二章矩阵与行列式§2.1矩阵概念元素都是实数——实矩阵(real~)元素都是复数——复矩阵(complex~)行(row)列(column)第二章矩阵与行列式§2.1矩阵概念3.向量(vector)行向量(columnvector)[a1,a2,…,an]列向量(rowvector)a1a2…an第i分量(

4、ithcomponent)ai(i=1,…,n)n阶方阵:nn矩阵2.方阵(squarematrix)见例2.一个11的矩阵就是一个数n–维(n–dimensional)第二章矩阵与行列式§2.1矩阵概念4.同型(same-sized):行数相等,列数也相等5.两个矩阵相等(equal)205030162016与abc123同型205030162016与不同型201650203016A=[aij]mn与B=[bij]mn相等:对1im,1jn,aij=bij都成立记为A=B.大

5、前提:同型第二章矩阵与行列式§2.1矩阵概念四.几种特殊的矩阵1.对称矩阵(symmetricmatrix)则称A为对称矩阵.若矩阵A=[aij]mn满足:12211010x3130m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n)第二章矩阵与行列式§2.1矩阵概念2.对角矩阵(diagonalmatrix)主对角线对角矩阵diag[1,2,…,n].a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann…………(leading/main/principaldiagonal)1

6、0…002…000…n…………简记为第二章矩阵与行列式§2.1矩阵概念3.数量矩阵/纯量矩阵(scalarmatrix)diag[k,k,…,k]——数量矩阵/纯量矩阵.4.单位矩阵(identitymatrix)称为n阶单位矩阵.2000200023003例如:En=10…001…000…1nn…………第二章矩阵与行列式§2.1矩阵概念5.反对称矩阵则称A为反对称矩阵(antisymmetricmatrix/若矩阵A=[aij]mn满足:0220011103130m=n且

7、aij=aji(i,j=1,2,…,n),skew–symmetricmatrix).第二章矩阵与行列式§2.1矩阵概念6.零矩阵(zeromatrix)有时,加下标指明其阶数.通常用O表示零矩阵.0000000000000000000例如,上述零矩阵分别可以记为:O2,O23,O3.零矩阵——元素全为零.第二章矩阵与行列式矩阵的基本运算二矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法(additionofmatrices)产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产

8、品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420例3.第二章矩阵与行列式矩阵的基本运算二矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法(additionofmatrices)产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365例3.第二章矩阵与行列式矩阵的基本运