线性代数 矩阵的基本运算.pdf

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1、第二节基本运算在定义矩阵运算之前，，，先规定矩阵相等的含义，先规定矩阵相等的含义。。。定义（（（矩阵相等（矩阵相等）））定义两个矩阵A=(aij),B=(bij)为为为同型矩阵为同型矩阵,并并并且对应元素相等,即即即运算规则a=bijij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n,)矩阵运用的例则称矩阵A与与与B相等,记作A===B.一、数与矩阵相乘482例如若若若A===1定义（矩阵的数乘）6810数与矩阵lA=(aij)的乘积记作lAA或l,1241

2、mn´则则则A===规定为2345llla11llla12⋯llla1n122463A===llla21llla22⋯llla2n162430lllA===Alll===.⋯⋯⋯⋯显然，，，对于数，对于数0和和和1及任意的矩阵A，，，有，有有有lllam1lllam1⋯lllamn0A=01A=A二、矩阵的加法222、2、、、数乘矩阵的运算规

3、律数乘矩阵的运算规律1定义（（（设（设设设A、、、B为为为m´´´n矩阵，，，lll,mmm为数）））设有两个m´´´n矩阵A=aij,B=bij,那末矩阵(((1)))(((lm)))A===lll(((mmmA)));A与与与B的和记作A+++B，，，规定为，规定为(((2)))(((lll+++mmm)))A===lllA+++mmmA;a11+++b11a12+++b12⋯a1n+++b1na21+++b21a22+++b22⋯a2n+++b

4、2nA+++B===⋯⋯⋯⋯am1+++bm1am2+++bm2⋯amn+++bmn1def即即即A+++B===[[[a]]]+++[[[b]]]===[[[a+++b]]]2、矩阵加法的运算规律ijijijij(((1)))A+++B===B+++A;（（（交换律（交换律）））321222543例如456+++123===579(((2)))(((A+++B)))++

5、+C===A+++(((B+++C))).（（（结合律（结合律）））(((3)))lll(((A+++B)))===lllA+++lllB.（（（数乘的分配律（数乘的分配律）））2---8---61+++3===4-a11-a12⋯-a1n-a-a⋯-a8210定义：-A=21222n===(((---a)

6、)),ij⋯⋯⋯⋯定义中蕴含了只有同维矩阵才能相加的条件，，，-a-a⋯-am1m2mn故在认为记号“A+B”有意义时，，，即已承认了，即已承认了A称为矩阵A的的的负矩阵.与与与B是同维的事实.三、矩阵与矩阵相乘把矩阵A与与与B之差A–B定义成A+（（（-（---B）））.引例变量x,x,x到变量y,y的线性变换12312321---222===321+++---2---2--

7、-2===10---1y1===a11x1+++a12x2+++a13x3,456123456---1---2---3333y===ax+++ax+++ax.2211222233把元全为零的矩阵称为零矩阵，，，记作，记作O又变量t，，，t到到到x,x,x的线性变换是12123则对任意一矩阵A，，，有，有有有A=A+O=O+Ax

8、1===b11t1+++b12t2要想得到从t1,t2x===bt+++bt到到到y1,y2的变换,2211222以及A–A=A+(–1)A=Ox===bt+++bt代入上式得3311322若用–A表示A的加法逆，，，则，则则则–A=(–1)Ay1===(a11b11+++a12b21+++a13b31)t1+++(a11b12+++a12b22+++a13b32)t2常将矩阵的数乘及加法统称为线性运算。。。y2===(a21b11+++a22b21