线性代数矩阵与运算

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1、第二章矩阵及其运算(Matrix&Operation)矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名馒头包子鸡蛋稀饭周星驰4221张曼玉0000陈水扁4986为了方便，常用下面右边的数表表示§2.1矩阵的概念2.1.1矩阵的引入1.定义2.1由m×n个aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表称m行n列矩阵，简称m×n矩阵。记作2.1.

2、2矩阵的定义2.说明:矩阵与行列式不同形式不同矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同.内容不同矩阵是一个数表，但行列式必是一个数.3.实矩阵、复矩阵5.矩阵相等充要条件是:4.同型矩阵两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵2.1.2一些特殊矩阵1.方阵若A为n行n列的矩阵，称A为n阶方阵。2.行矩阵、列矩阵行矩阵只有一行的矩阵。列矩阵只有一列的矩矩阵3.零矩阵、单位矩阵n阶单位矩阵4.对角矩阵与数量矩阵5.上（下）三角形矩阵§2.2矩阵的运算2.2.1.矩阵的加法与数乘:注：矩阵的加法只能在两个同型矩阵之间进行；两个矩阵相加时，对应元素进行相加。1.矩阵的加法（定义2.2）:A

3、=(aij)、B=(bij)2.矩阵的数乘定义2.3数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：负矩阵:A=(aij)减法：ＡB=Ａ+(B)3.矩阵线性运算律：(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+(A)=O(4)1A=A(5)(kl)A=k(lA)(6)(k+l)A=kA+lA(7)k(A+B)=kA+kB例1．若X满足其中求X.解X=2.2.2.矩阵的乘法：1.矩阵的乘法定义（定义2.5）设矩阵A为m×s阶矩阵、矩阵B为s×n阶矩阵，A=(aij)m×s、B=(bij)s×n，则矩阵A与B的乘积为一m×n阶矩阵C=(cij)m×n，记C=A

4、B，且就是说，矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的所有元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。例2计算例3.非齐次线性方程组的矩阵表示记则非齐次线性方程组可简记为关于矩阵乘法的注意事项：（1）矩阵A与矩阵B做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；（2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；2.矩阵乘法与加法满足的运算规律（3）AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定相等；（4）AB=O不一定有A=O或B=O；A(XY)=O且A≠O也不可能一定有X=Y例4定理2.1若矩阵A的第i行是零行，则乘积AB的第i行也是

5、零；若矩阵B的第j行是零列，则乘积AB的第j列也是零。若A(或B)是零矩阵，则乘积AB也是零矩阵。例5设求AB与BA解只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm(3)(AB)k≠AkBk3.矩阵的乘幂：设A是n阶方阵，定义：例6解4.方阵A的n次多项式5.矩阵的转置定义2.6A的转置矩阵，记作AT，是将A的行列互换后所得矩阵如果A是一个m×n阶矩阵，AT是一个n×m阶矩阵。矩阵的转置的性质证明（1）、（2）、（3）易证，下证明(4).设矩阵A为m×s阶矩阵，矩阵B为s×n阶矩阵，那么：(

6、AB)T与BTAT是同型矩阵；又设C=AB，因为CT的第i行第j列的元素正好是C的cji，即cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs而b1i，b2i，…，bsi正好是BT的第i行，aj1,aj2,…,ajs正好是AT的第j列，因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故(AB)T=ATBT6.对称矩阵与反对称矩阵设A为n阶方阵，若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为对称矩阵；若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为反对称矩阵。如右边的矩阵A为对称矩阵7.方阵的行列式

7、（1）方阵A的行列式，记为

8、A

9、或detA。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。（2）方阵的行列式满足以下运算规律(设A、B为n阶方阵，λ为实数)1)伴随矩阵：设A=(aij)n×n，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵8、再讲几类特殊的矩阵称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊矩阵运算举例设对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB=BA=E恒成立，则称矩阵A可逆或满秩矩阵,或非奇异矩阵；B称为A的逆矩阵，记为A－1=B。1）.若矩阵A可逆，则A的逆矩