线性代数 2.2 矩阵运算.ppt

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1、一、矩阵的加法二、数与矩阵相乘三、矩阵与矩阵的乘法第二节矩阵的运算第二章四、矩阵的转置1一、矩阵的加法与数量乘法设A=(aij)mn,B=(bij)mn,设称C=A+B.为矩阵A与矩阵B的和，记为注意2)矩阵的加法是两个同型矩阵对应位置上的元素相加.1)相加的矩阵必须有相同的行数和列数；1.加法2例1设则32、数乘矩阵设为实数，的乘积矩阵：即与定义2称此矩阵为常数负矩阵43、矩阵减法求为实数，设解例25加法运算律:数乘运算律:6例3已知,求矩阵使解:原方程为,7定义3设的乘法，即其中，称的积。为矩阵与二、

2、矩阵的乘法8注意1)只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘.2)乘积矩阵的第i行第j列的元素等于左矩阵的第i行与右矩阵的第j列的对应元素乘积的和.9例4设求AB.解10例5设求AB、BA.解11例6求矩阵的乘积AB及BA.解由定义有12(1)矩阵的乘法运算不满足交换律.在作乘法时,应指明它们相乘的次序.如AB读作“A左乘B”或“B右乘A”.即使AB与BA都有定义,它们也不一定相等.AB有定义,BA不一定有定义.关于矩阵的乘法运算,需要注意以下几点:(2)两个非零

3、矩阵的乘积可能是零矩阵.例如AO,BO,但BA=O.131)结合律(AB)C=A(BC);(B+C)A=BA+CA;2)分配律A(B+C)=AB+AC,运算规律k(AB)=(kA)B(其中k为数).14n级单位矩阵E在矩阵代数中占有很重要的地位,它的作用与“1”在初等代数中的作用相似.15于是有EA=AE=A.16若A是n阶方阵，方阵的幂：并且则Ak为A的k次幂，即17特别：若则的意义规定为例如：设18用矩阵表示线性方程组设有n个未知量的线性方程组（1.1）根据矩阵相等的定义有19将左边的矩阵表示为两

4、个矩阵的乘积得：系数矩阵未知数矩阵常数矩阵称（1.2）为方程组(1.1）的矩阵表示式.20三、矩阵的转置定义4转置矩阵，记作将例如行列互换得到的矩阵，称为的或21运算规律(AT)T=A,(A+B)T=AT+BT,(AB)T=BTAT,(kA)T=kAT.证明只证(AB)T=BTAT.设AB中(i,j)的元素为22其次，BT中(i,k)的元素是bki,AT中(k,j)的元素是ajk,因此，BTAT中(i,j)的元素即为这就是说(AB)T中(i,j)的元素和BTAT中(i,j)的元素都为所以(AB)T=BTA

5、T.所以(AB)T中(i,j)的元素就是23对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明：设A为n阶方阵，如对称阵:称A为对称阵，即如果则称A为对称阵.24方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作

6、A

7、或detA.运算规律：25例2.13设解方法一26方法二27例12解利用转置矩阵的性质简化并计算28作业P811231235429