矩阵的基本概念

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1、§1矩阵及其运算教学耍求:理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵）的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。能熟练正确地进行矩阵的计算。知识要点：一、矩阵的基本概念矩阵，是由静I个数组成的一个輝行三列的矩形表格，通常用大写字母A.B.C.…表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素衍•切斗r…表示，其屮下标心畑都是正整数,他们表示该元素在矩阵中的位置。比如,AS-表示一个海仙矩阵，下标二表示元素做位于该矩阵的第珥亍、第丿歹！J。元素全为零的矩阵称为零矩阵。特别地，一个

2、曲刈矩阵z也称为一个E维列向量；而一个g矩阵"（如知…,也称为一个可维行向量。当一个矩阵的行数■与烈数三相等时，该矩阵称为一个稱阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个邙介方阵的主对角线上的元素都是1,而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为埠，即:O如一个龙阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如,他给…纭）一个V阶下三角矩阵，而1°°…11■丿则是一个牒阶上三角矩阵。今后我们用Mi®表示数域・上的矩阵构成的集合,而用心㈤或者如何表示数域・上的勺阶方阵构成的集合

3、。二、矩阵的运算1、矩阵的加法:如果a=M^b=M是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说4毗M-6）,则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即"处心（R）,的元素为■二和三对应元素的利dp：虫—hf+勾）o给定矩阵A=^,我们定义其负矩阵。为：-”（-气）。这样我们可以定义同型矩阵4於的减法为：。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：(1)交换律：A+J=fl+A.（2）结合律：斗WOKHQY；(3)存在零元：^+0=04-^=^.（4）存在负元：卄（-4）=3）+上=02、数与矩阵的乘法:设心为一

4、个数,，则定义丄与二的乘积“仍为中的一个矩阵，财中的元素就是用数乙乘中对应的元素的道德，即忌*=（秒）。由定义可知：（r^=-Ao容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律：(1)M=虫；(2)1(X4-A)=AX4-^0.(3)W+^)A=1j<+/

5、律：(肋刃=皿恥)；(2)左分配律："+G=M"C；(3)右分配律：(A+flX7=AC+«7;(4)数与矩阵乘法的结合律：叭(5)单位元的存在性：=4-^=4^o宀/4…月若三为龙阶方阵，则对任意正整数j我们定义：r^,并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：才才=严，(巧*。注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是:(1)矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便肿有意义，M也未必有意义；倘使血•巫都有意义，二者也未必相等(请读者自己举反例）。止是由于这个原因，一般来讲，（^+^*^+2^+^,（耐軒才才O（2）两个非零矩阵的乘积可能

6、是零矩阵，即的"未必能推出力"或者〃=0（请读者自己举反例）。（3）消去律部成立：如果血"C并且八0,未必有归。o4、矩阵的转置:%%・••％、虫=衍・・・％■■■■••••■■定义：设1%%….丿为加5矩阵，我们定义亠的转置为才=一个捧X瞬矩阵，并用才表示二的转置，即:矩阵的转置运算满足下列运算律:(1)眄";(2)(A+fi)r=Z+fir.(3)(WW；(4)g=呼疋o5、对称矩阵:定义1・11邙介方阵二若满足条件：才=/,则称三为对称矩阵；若满足条件：才=7,则称匸为反对称矩阵。若设A=W，则匸为对称矩阵，当且仅当岭=灯对任意的成立；上为反

7、对称矩阵，当且仅当对任意的…鼻成立。从而反对称局针对角线上的元素必为零。对称矩阵具有如下性质：（1）对于任意那松矩阵二，厅A为三阶对称矩阵；而血尸为那阶对称矩阵；（2）两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；（3）如果两个同阶（反）对称矩阵人月可交换，即血》=血,贝陀们的乘积▲&必为对称矩阵，即砂=“。思考题：设W为第］个分量为1,而其余分量全为零的樽维列向0量，1°丿为第」个分量为1,而其余分量全为零的可维列向量，A=g为"矩阵，试计算2、设二为三阶方阵，并且对任意^eF-W^/r=O,你能得出什么结论？