代数与矩阵的基本概念

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1、很多工程问题都可以通过数学建模转化成线性方程组，而矩阵是描述和求解线性方程组最基本和最常用的数学工具。本章将介绍矩阵的基本数学运算和重要性质。1.1代数与矩阵的基本概念1.1.1代数基本概念群、环、域是代数的基本概念，但限于篇幅，不予赘述。这里主要介绍线性空间和线性映射(线性变换)。在抽象代数中，域是一种可进行加、减、乘、除四则运算的代数结构。域的概念是数域及四则运算的推广。首先，引入几个基本符号：P代表数域，R代表实数域，C表示复数域，Z为整数域。一个m维列向量定义为23x1676x27x=66.77(1.1.1).4.5xm

2、若其元素x取实数，即x2R，则称其为m维实(数)向量，并记作x2Rm£1，或者简记ii为x2Rm。类似地，若x2C，则称其为m维复向量，并记作x2Cm。i一个m维行向量定义为x=[x;x;¢¢¢;x]，记作x2R1£m或x2C1£m。为了书写12m的方便，常将一个m维列向量写成m维行向量的转置形式，即x=[x;x;¢¢¢;x]T。12m一个m£n矩阵定义为23a11a12¢¢¢a1n6766a21a22¢¢¢a2n77m;nA=6......7=[aij]i=1;j=1(1.1.2)4...5am1am2¢¢¢amn若其元素a2

3、R，则称其为m£n实矩阵，用符号表示为A2Rm£n。类似地，A2Cm£nij表示A是一个m£n复矩阵。2第1章代数与矩阵基础m£n矩阵可以利用其列向量a=[a;a;¢¢¢;a]T(j=1;2;¢¢¢;n)表示为A=j1j2jmj[a1;a2;¢¢¢;an]。定义1.1.1线性空间是指在一个集合S上定义了加法(且对加法是交换群)和数乘运算，且数乘满足下列线性规则，即8®;¯2P;8x;y2S，均有®(x+y)=®x+®y(®+¯)x=®x+¯x®(¯x)=(®¯)x例1.1.1Rn是线性空间，其中“加法”运算定义为a+b=[a+b

4、;a+b;¢¢¢;a+b]T1122nn数乘运算为¸a=[¸a;¸a;¢¢¢;¸a]T12n其中a=[a;a;¢¢¢;a]T和b=[b;b;¢¢¢;b]T。12n12n函数有定义域(domain)与值域(range)。定义域是函数自变量所有可取值的集合；值域则是由定义域中一切元素所能产生的所有函数值的集合。一个m£n矩阵A2Cm£n所对应的线性变换x=Ay(y2Cn)的值域定义为Range(A)=fxjx=Ay;y2Cng，而零空间(nullspace)则是矩阵方程Av=0的所有解向量v的集合，也称为A的核或核空间，常用数学符号

5、表示为Null(A)=fv2V:Av=0g。值域Range(A)也写作Span(A)，或者简记为R(A)。例1.1.2给定A2Cm£n(m£n复系数矩阵)，则该矩阵的值域R(A)=fxjx=Ay;y2Cng和零空间N(A)=fxjAx=0g都是线性空间，但R(A)½Cm，而N(A)½Cn。例1.1.3次数6n的复系数多项式的全体C[¸]=faja=a¸n+¢¢¢+a¸+a;a2Cgnn10i是线性空间；但次数=n的复系数多项式的集合不是线性空间。思考：最小的线性空间是什么？S和Q同为线性空间，且Q½S,则称Q为S的线性子空间。例

6、1.1.4A2Cm£n，则R(A)是Cm的子空间，而N(A)是Cn的子空间。S是线性空间，元素组fx1;x2;¢¢¢;xmg½S是线性相关的，系指存在不全为零的系数Pmai2P，使aixi=0。反之，称fx1;x2;¢¢¢;xmg是线性无关的。当fx1;x2;¢¢¢;xmg线性i=1Pm无关时，aixi=0)ai=0;i=1;2;¢¢¢;m。i=1若在线性空间S中存在n个向量线性无关，而任何n+1个向量均线性相关，则称S的维数为n，记为dim(S)=n。S是域P上的线性空间，元素组fx1;x2;¢¢¢;xng称为S的一组基，是指

7、：①fx1;x2;¢¢¢;xng线性无关；()Xndef②Span[x1;x2;¢¢¢;xn]=aixi;ai2P=S。i=1Xn注：若8x2S;x=ax，则坐标向量a=[a;a;¢¢¢;a]T唯一。ii12ni=11.1代数与矩阵的基本概念3因为线性空间也是集合，因此可以定义交集和并集。线性空间之间还可以定义“和”运算以及“直(接)和”运算。线性空间的交、并、和、直和四种运算的定义如下：TV=fxjx2T且x2VgT[V=fxjx2T或x2VgT+V=fxjx=y+z;y2T;z2VgT©V是指T+V;当TV=f0g思考：

8、以上哪种集合还是线性空间？映射¾:S!T称为线性映射(线性算子)，是指它满足¾(a+b)=¾(a)+¾(b)¾(¸a)=¸¾(a)1.1.2矩阵与向量科学和工程中的很多问题都可以通过数学建模转化成一个线性方程组9a11x1+a12x2+¢¢¢+a1nxn=b1>