矩阵代数的运用

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1、实验名称：矩阵代数的运用实验目的：学习Matlab有关线性代数方程组的求解和矩阵运算，学会解决建模实验中有关投入产出及基因遗传等应用问题。实验项目:①已知各经济部门某年的投入与产出，求当最后需求为定量时的各个部门的投入与产出0②用正交变换求二次型标准型。实验背景:在当代社会快速发展的今天，企业，部门若需要高效率的运作，必须得学会预计今后的走势，因而“投入产出分析”的教学模型产生就非常重要了。实验具体过程：第1题：题目：在某经济年度内，各经济部门的投入产出表如表3.5(单位：亿元)消耗部门最后需求总产值农业第三产业生产部门TMP6211625农业2.2510.21.555第三产业30.

2、21.81520假设某经济年度工业、农业及第三产业的最后需求均为17亿元，预测该经济年度工业、农业及第三产业的产出(提示：对于一个特定的经济系统而言，直接消耗矩阵和Leontief矩阵可视作不变)理论推导或编程说明：对于一个特定的经济系统而言，直接消耗矩阵和leontief矩阵可视作不变，则根据表中的数据可求得起消耗矩阵，在根据投入与产出关系推得其解。程序：»clear»B二[621；2.2510.2；30.21.8]；»X=[25;5;20];diag(X)»inv(diag(x))»C=B*ans»D=[17;17;17];A=(eye(3)-C)»T二AD对实验题目的解答:根

3、据运行程序可得C=0.24000.40000.05000.09000.20000.01000.12000.04000.0900为直接消耗矩阵z、仃7、兀2'外界需求量D二17宀丿令产出向量X二Leontief矩阵A=E-C=-0.40000.8000-0.0400-0.0500-0.01000.91000.7600-0.0900-0.1200可列方程组X]—(6旺+2x2+x3)=17兀2-(2・25%

4、+x2+0.2x3)=17x3一(3%]+0.2*2+1.8兀3)=17(37.5696、故可运算得x=AD=25.7862.24.7690,改进程序或思考:按照投入产出的数学模型

5、可以看出，本问题的关键在于直接消耗矩阵的求法,而利用inv函数则可以很好的解决这个问题，之后的求解问题也就迎刃而解了;第2题：题目：用正交变换化下列二次型为标准型f(x,,x2,x3)=x：-4x]x2+4x]x3-2x；+8x2x3-2x；理论推导或编程说明：根据高等代数的知识，要求出标准型，得先得到二次型的矩阵A,在找出正交矩阵，做替换得标准型。程序：A=[l-22;-2・24;24・2];»[V,D]=eig(A),t=eig(A)V=0.33330.6667・0.6667D=0.9339-0.33040.1365-0.1293-0.6681-0.7327-7.00000002

6、.0000002.0000t=-7.00002.00002.0000»V*v1.00000.00000.00000.00001.000000.000001.0000对实验题目的解答:由fg,x2,x3)=x-4xjx2+4xjx3-2x+8x2x3-2x3得其二次型矩阵为<1--22、A=-2--24,用matlab求得其特征值为-7,2,2.对应的特征向量为<24-2丿(0.3333、(0.9339、了-0.1293]0.66679-0.3304-0.6681,经验算其是为正交矩阵，所以由正交变[-0.6667丿10.1365丿、—0.7327丿x2,x3)=-7x；+x；+x：o

7、换得f(Xj改进程序或思考:求正交矩阵的过程中，如果其特征向量不是正交矩阵，则应进行变换，得到正交矩阵。在实验中对matlab的应用还是不大熟悉，操作不是很理想，在今后的学习中还需努力改进。实验总结：①对市场经济数据处理及问题预测，可借助以往的相关资料结合matlab,数学公式进行评估。②通过第二题，补充复习了高代的相关知识，实验过程中对matlab操作还不是很熟练。