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《第二章矩阵的基本计算和线性代数的基本概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二章矩阵§2.1矩阵定义1由mxn个数殉0=1,2,…,m;y=l,2,…,卅）排成的m彳亍〃列的矩形数表称为mxn矩阵，记作a\a2aam2amn）其中佝•称为矩阵的第i行第j列的元素.一般情况下，我们用大写字母A,B,C等表示矩阵.矩阵A简记为或记作A皿刈・若矩阵A的行数与列数都等于则称A为n阶矩阵，或称为斤阶方阵.n阶矩阵A也记作A”.只有一行的矩阵4=（山。2•…an）称为行矩阵，或称为行向量.行矩阵也记作A=（di,°2,…，如）.只有一列的矩阵B=*•••如称为列矩阵，或称为列向量.两个矩阵的行数相等、列数也相等，就称它们是
2、同型矩阵.如果店伽）与3=（如）是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即妒如0=1,2,…，2,…，H）,则称矩阵A与矩阵3相等，记作a=B・对角矩阵diagSi,a2,…，如.所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.例1某厂向三个商丿占发送四种产品的数量可列成矩阵其旬为工厂向第i个店发送第丿•种产品的数量.这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵其中为第i种产品的单价,仞2为第i种产品的单件重量.例2四个城市间的单向航线如图所示.若令,-J1从，市到/市有1条单向航线厂［0从侖至D市寝宥卒向航殘?则图可用矩阵表示为11)0000-10丿一般地，若干
3、个点Z间的单向通道都可用这样的矩阵表示.例3n个变量兀1,兀2,…，兀"与m个变量力*2,…，升”之间的关系式）计勺“+即花+…+4屁y2=a2xX{+°22尤2a2nXnI儿二佥內+%2兀2+…+勺“届表示一•个从变量X1,兀2,…,Xn到变量y,)'2,•••,)%的线性变换，其中夠为常数.线性变换的系数的•构成矩阵A=(①)〃呦，称为系数矩阵.给定了线性变换，它的系数所构成的矩阵也就确定了.反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定了.在这个意上，线性变换与矩阵Z间存在着一一对应的关系.线性变换yr＜力=勺丿严捡叫做
4、恒等变换，它对应的一个〃阶方阵(1o■-0)E=01••-0,00…1,这种方阵称为n阶单位矩阵，简称单位阵.线性变换必=4西5、一'：?］对应的线性变换（sin。cos。丿兀］=%cos0-ysin0)、=xsin°+ycos0把xOy平面上的向量0P=W变为向量亦二㈤.设矗的长度为厂，辐角为GI)丿VV即x=rcos0.y=rsinQ那么xi=r(cos(pcos亠sin(psin®=rcos(yi=r(sin0cosObcos0sin0)=厂sin(表明必I的长度也为r而辐解为评輕因此，这是把向量0P旋转准的旋转变换.§2.2矩阵的运算—＞矩阵的加法定义2设有网个加矩阵4=(的)和B=(b》,矩阵A与3的和记为A+3,规定为A+B=(Qij+bij).即G]]+%印2
6、+勺2…4“+勺“1+^21a22^22例1设人=A+B=(357(204(3+15+37+22+20+14+541+饥I%+—2•••%+%132215_(489)-(41J应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算.矩阵加法的运算规律：设A,B,C都是加＞5矩阵,则(1)A+B=8+A;(2)(4+B)+C三4+(B+C).设矩阵A=(aij),记「4=(一的),-A称为矩阵A的负矩阵.显然有A+(-A)=O.由此规定矩阵的减法为二、数与矩阵相乘定义3数＞1与矩阵A的乘积，记为加或4入规定为24=(加“).即(加II加
7、
8、2…加JAA=AA=加21加22…加2”(加,”iAam2…Aaintl>742501320zrk-A设(3572、[3x33x53x73x2、<915216)3A=32043=3x23x03x43x3-601293123),3x03x13x23x3)<0369；数乘矩阵的运算规律：设A、B都是加“矩阵,2、“是数，贝IJ(1)(2//)A=A(/zA);⑵(2+“)4=几4+“4;(2)2(A+B)=/L4+/IB.[3572)"320)设心2043,B=2157(0123丿,0648丿例3矩阵的加法运算与数乘运算合起来，统称为矩阵的线性运算.
9、[3572、(1320)(915216、Z3A-2B=32043-22157=60129—(0123j(0648丿(°369丿求3A-
