线性代数的基本概念

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1、《线性代数》根据“卓越工程师教育培养计划“的基本要求，突出基本概念、基本理论、基本技能，注重培养学生数学素质。教材在满足教学要求的前提下，适当降｛睡论推导的要求，但重视阐明基本理论的脉络。习题配置中也突出基本题、概念题和与工程相关的实际应用题等。由于研究关联着多个因素的量所弓I起的问题，则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正

2、是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外,近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。矩阵行列式行列式出现于线性方程组的求解,它最早是一种速记的表达式,现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给岀了行列式，并给岀方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提岀了行列式的概念与算法。1750年,瑞士数学家克莱姆(G.Cramerz1704-1752)在其著作《线性代数分析导引》中”对行列式的走义和展开法则给岀

3、了比较完整、明确的阐述，并给岀了现在我们所称的解线性方程组的克菜姆法则。稍后，数学家贝祖(E.Bezout,1730-1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用,并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外,单独形成一门理论加以研究。在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796)。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐

4、，但对数学有浓厚的兴趣”后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它彳门的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做岀突岀贡献的就是另一位法国大数学家柯西。1815年，柯西在一篇论文中给岀了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。具中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵,采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展

5、开定理并给出了一个证明等。19世纪的半个多世纪中，对行列式理论硏究始终不渝的作者之一是詹姆士•西尔维斯特(J.Sylvester,181牛1894)。他是一个活泼、敏感、兴奋、热晴,甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个次和一个次的多项式中消去x的方法，他称之为配析法,并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果，但没有给出证明。继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比(JJacobiz1804-1851)，他弓I进了函数

6、行列式，即"雅可比行列式"，指岀函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给岀了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成W性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之夕卜,还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。矩阵矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要硏究对象，也是数学硏究和应用的一个重要工具。"矩阵"这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而

7、发明了这个述语。而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反。英国数学家凯莱(A.Cayley,1821-1895)一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为f独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论