线性代数基本概念.ppt

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1、线性代数知识——矩阵的相关内容北京外国语大学国际商学院蔡连侨线性代数知识矩阵（Matrix）的概念矩阵的运算几种特殊的矩阵向量（Vector）的概念矩阵的性质矩阵（Matrix）的概念矩阵Amatrixisarectangulararrayofnumber/一组数排成矩形阵列，称为矩阵横的一排称为行（row），竖的一排称为列（column）m行n列的矩阵称m×n矩阵，矩阵中的数aij称为矩阵的元素（element），矩阵A一般简记为(aij)m×nn×n矩阵也称为n阶方阵，a11，a22，……ann称为矩阵主对角线的元素A=[a11a12……a1n]a21a22……a2n………………am1

2、am2……amn矩阵的运算数值可以加、减、乘、除，对于矩阵是否有相应的运算呢？A=(aij)m×n，B=(bij)p×q矩阵的相等(=)A=B↔aij=bij，foralliandjm=p，n=q矩阵的加(+)A+B=(aij+bij)m×nm=p，n=qA=[47]B=[23]A+B=[610]253156矩阵的运算矩阵的减(-)A-B=(aij-bij)m×nm=p，n=q矩阵的数乘（multiplyamatrixbyanumber）kA=(kaij)m×nA=[47]B=[23]A-B=[24]2531-14A=[47]3A=[1221]25615矩阵的运算矩阵的乘(×)p=nAB是

3、m×q矩阵nAB=(Σaikbkj)m×qi=1此时BA没有定义，即使BA有定义，一般情况下BA也不等于AB，甚至行数和列数也不同A=[47]B=[234]25316AB=[4×2+7×34×3+7×14×4+7×6]=[291958]2×2+5×32×3+5×12×4+5×6191138矩阵的运算例如又如A=[47]3825B=[234]316AB=[291958]301760191138BA=[2558]2759A=[24]37B=[35]61AB=[3014]5122BA=[2147]1531矩阵的运算矩阵乘法的应用例子2x1–x2+5x3+x4=20x1+5x2+4x3+5x4=3

4、03x1+x2-6x3+2x4=20可写为AX=bA=[2-151]154531-62b=[20]3020X=[x1]x2x3x4矩阵的运算矩阵的除法没有定义矩阵的运算律A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)A(B+C)=AB+ACA(BC)=(AB)C矩阵的转置（TransposeOperation）ATorA’A=[234]316AT=[23]3146几种特殊的矩阵在数的运算中，有两个特殊的数0和1，那么在矩阵的运算中是否也有类似作用的矩阵呢？单位阵（IdentityMatrix）一般用I或E表示是方阵（m=n），对角线元素为1，其余为0对任意矩阵A，有AI=A=IAI=[100

5、……0]010……0001……0………………000……1几种特殊的矩阵零阵（NullMatrix）一般用O表示是方阵（m=n），所有元素为0对任意矩阵A，有A+O=A，A–A=O，OA=O=AOO=[000……0]000……0000……0………………000……0几种特殊的矩阵对角阵一般用D表示是方阵（m=n），对角线以外的元素都为0数量矩阵：对角线元素相同的对角阵上三角形矩阵：对角线下方元素都为0的方阵下三角形矩阵：对角线上方元素都为0的方阵D=[d10……0]0d2……0…………00……dn几种特殊的矩阵分块矩阵、子阵（submatrix）A12=[a12a13a14]A21=[a21]

6、A22=[a22a23a24]a31a32a33a34=[a11A12]A21A22A=[a11a12a13a14]a21a22a23a24a31a32a33a34如果B=[b1b2]=[b1]，则AB=[a11b1+A12B2]b3b4B2A21b1+A22B2向量（Vector）的概念只有1行或1列的矩阵一般称为向量，按行排列称为行向量（rowvector），按列排列称列向量（columnvector），矩阵的行（列）也可称行（列）向量向量的元素个数称为向量的维数为了表示方便，列向量用行向量的转置来表示元素均为0的向量称为0向量（nullvector）如x=[x1x2]称为4维列向量，

7、x=[x1,x2,……,xn]称为n维行向量x3x4向量（Vector）的概念向量的线性相关（linearlydependent）与线性无关（linearlyindependent）对于一组向量x1,x2,……,xm，如果存在一组不全为0的数c1,c2,……,cm，使得c1x1+c2x2+……+cmxm=0，则称这组向量线性相关；否则称这组向量线性无关例如，x1=[1，1，1]，x2=[0，1，1]，x3=[2，5，5]