线性代数 线性方程组的基本概念.ppt

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1、第四章线性方程组§4.1线性方程组的基本概念§4.2高斯(Gauss)消元法§4.3齐次线性方程组解的结构§4.4非齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组的基本概念一、线性方程组的几种表示形式二、线性方程组解的存在性与惟一性三、等价的线性方程组下面将讨论一般线性方程组。在第一章中，讨论了方程的个数与未知量的个数相等的而实际问题中，方程组的方程个数与未知量的个数不一定相等。一、线性方程组的几种表示形式方程组，需要探讨的问题(1)方程组是否有解?(2)如果有解，是否惟一?(3)如何求解?其中为未知

2、量，是第i个方程第j个未知量xj的系数，1.线性方程组的一般形式为常数项。若常数项不全为0，称为非齐次线性方程组；定义否则称为齐次线性方程组(或者导出组)。一、线性方程组的几种表示形式P109P1231.线性方程组的一般形式一、线性方程组的几种表示形式称为增广矩阵。2.线性方程组的矩阵形式简记为A称为系数矩阵，其中P1111.线性方程组的一般形式一、线性方程组的几种表示形式2.线性方程组的矩阵形式3.线性方程组的向量形式令对于线性方程组则得到向量形式为即将右端项表示成系数阵的列向量的线性组合P1

3、111.线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性线性方程组AX=b有解的充要条件是定理证明必要性若AX=b有解，则b可由线性表示，故向量组与等价，即得P112定理4.2(1)充分性1.线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性线性方程组AX=b有解的充要条件是定理证明故b可由的线性表示，则的极大线性无关组也是若即得AX=b有解。的极大线性无关组，1.线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性2.线性方程组解的惟一性即AX=b的解是惟一的。设则AX=b有惟一解。定理

4、证明由知AX=b有解，即存在，使得(1)若则线性无关，故b只能由的惟一地线性表示，P112定理4.2(2)1.线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性2.线性方程组解的惟一性证明故AX=b的解不惟一。设则AX=b有惟一解。定理(2)若线性相关，即存在不全为零的，使得可见也是AX=b的解，则1.线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性2.线性方程组解的惟一性对于线性方程组AX=b，有(线性方程组解的判定)综合(2)当时，方程组有唯一解;(1)当时，方程组有无穷多解;(3)当

5、时，方程组有无解。其中有非零解有非零解二、线性方程组解的存在性与惟一性3.关于齐次线性方程组的一些结论(3)若m=n，即A为方阵，则(1)一定有(零)解。则必有非零解。(2)只有零解只有零解因为特别，若m＜n，即方程的个数小于未知量的个数，补对于齐次线性方程组有如下结论：三、等价的线性方程组若存在可逆矩阵P，使PA=B，则线性方程组若两个线性方程组同解，则称它们等价。定义定理证明AX=b与BX=Pb等价(同解)。由由故线性方程组AX=b与BX=Pb等价。P111定义4.1P111定理4.1三、等

6、价的线性方程组定理的重要意义则线性方程组AX=b与BX=Pb同解(即解不变)。称此为线性方程组同解变形。思考可否进行列初等变换？它是后面(高斯)消元法的基础。若行初等变换轻松一下吧……