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时间:2020-01-18
《线性代数—线性方程组解的结构.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五节线性方程组解的结构1在有解的情况下,回顾:其中为增广矩阵。当线性方程组有无穷多解的情况下,希望用有限个解表示出来。2一、齐次线性方程组解的结构由解的判别定理知,(*)只有零解当且仅当(*)有零解(即无穷多解)当且仅当3齐次线性方程组解的性质:证明(1)若为的解,则也是的解.(2)若为的解,为实数,则也是的解.证明均是的解,则它们的综上所述,若线性组合也是的解.4定义齐次线性方程组的一组解向量如果满足:(1)线性无关;(2)的任一解向量均可被线性表示,则称为的一个基础解系。若只有零解,则基础解系不存在。基础解系即为全体解向量组的极大无关组
2、。定理证略下面举例说明基础解系的求法。5求下面齐次线性方程组的一个基础解系,并用基础解系表示出全部解。例1解6自由未知量取为7基础解系:8例2解求下面齐次线性方程组的一个基础解系:9自由未知量取为10自由未知量取为基础解系:11二、非齐次线性方程组解的结构称为的导出组。12非齐次线性方程组解的性质:证明(1)若为的解,则是的解.证明(2)若为的解,为的解,则是的解.13定理如果是的一个特解,那么的任一解可表为其中是导出组的解.因此,当取遍导出组的全部解时,就给出的全部解。证明由上述性质可知,为导出组的解,记为则当取遍导出组的全部解时,就给出的
3、全部解。14设非齐次线性方程组当取遍导出组的全部解时,就给出的全部解。全部解的求法:满足则有无穷多解,导出组(1)求出导出组的基础解系(2)求出原方程组的一个特解则的全部解为其中为任意常数.15例3解求方程组的全部解.所以有无穷多解。16导出组的基础解系:特解:所以全部解为任意。17例4方程组的增广矩阵为导出组的基础解系:18特解:所以全部解为任意。19例5解方程组(1)为何值时,无解?有唯一解?有无穷多解?(2)无穷多解时,求出全部解(用向量表示)。无解;20有无穷多解,全部解为k为任意常数.21例6解k为任意常数.22练习:P141习题三
4、23
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