线性代数第4章线性方程组解的结构

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1、第四章线性方程组的解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.3非齐次线性方程组解的结构§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理1§4.1线性方程组解的存在性定理在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性方程组的求和存在性问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。2(4-1)(矩阵形式)(向量形式)(原始形式)3非齐次方程组解的存在性定理定理4.1.1对于非齐次方程组(4-1)向量可由A的列向量组线性表示。4定理4.1.2设的线性方程组的系数行列式Cramer法则则方程组有唯一解,且解为:(4-2)5齐次方程组解的存在性定理(4-3)

2、(矩阵形式)(向量形式)(原始形式)6定理4.1.3对于齐次方程组(1)A的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关推论1当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3)必有非零解。7定理4.1.4设的线性方程组有非零解(4-4)学习书P135例28第四章线性方程组的解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.3非齐次线性方程组解的结构§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理9§4.2齐次线性方程组解的结构(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大无关组(又称为基础解系)如何求?齐次方程组(假设有无穷多解)(1)解集的特点?称：10性质1：若是(4-3)的解，

3、解空间:的所有解向量的集合S，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的解空间。性质2：注：如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。性质推论1而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。首先回答问题(1)11设是的解，满足线性无关；的任一解都可以由线性是的一个基础解系。基础解系表示,则称下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题，同时也是定理4.2.1的例证。(取任意实数)从而也是(4-3)的解。12通过下面的例子,针对一般的方程组例1回答所提问题.第一步:对系数矩阵A初等行变换化行最简形B从行最简形能得到什

4、么？13第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边.右边的又叫自由变量)自由变量的个数=?第三步:令自由变量为任意实数写出通解，再改写成向量形式14是解吗?线性无关吗?任一解都可由表示吗?是基础解系吗?基础解系所含向量的个数=?第四步:写出基础解系再来分析一下基础解系的由来:第二步的同解方程组为第三步的通解为15就是取代入同解方程组(1)中求得然后再拼成的解向量.类似的……这就启发我们,由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数(这里3个).只要令为三个线性无关的向量.代入同解方程组(1)中求得然后再拼成解向量.必然是线性无关的,从而也是基础

5、解系.由此得到解法2.16第一步:同前第二步:同前第三步:令代入(1)求再拼基础解系:第四步:写出通解17设是矩阵，如果则齐次线性方程组的基础解系存在，且每个基础解系中含有个解向量。定理4.2.1推论2设是矩阵，如果则齐次线性方程组的任意个线性无关的解向量均可构成基础解系。18例2设,是的两个不同的解向量,k取任意实数,则Ax=0的通解是19设,证明证记则由说明都是的解因此移项重要结论推论320且线性无关，则_______是AX=O的基础解系。(2),(3)则_______可为AX=O的基础解系。(4)练习(1)(2)21例3证明设,首先证明利用这一结论证重要结论22例4求一个齐

6、次方程组,使它的基础解系为记之为AB=O,这相当于要解矩阵方程,习惯把未知的A放在右边,转置,只需解然后再把这些解拼成的列(A的行)即可.解得基础解系设所求的齐次方程组为,则取即可.解23第四章线性方程组的解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.3非齐次线性方程组解的结构§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理24§4.3非齐次线性方程组解的结构以下总假设有解,而其对应的齐次方程组的基础解系为这里25性质(1)设都是(1)的解,则是(2)的解.(2)设是(1)的解,是(2)的解,则仍是(1)的解.设是(1)的一个解(固定),则对(1)的任一解x是(2)

7、的解,从而存在使得又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.由此得:(3)注：非齐次方程组的解集不是空间。26定理4.3.1设是(1)的任一解,则(1)的通解为例5解27在对应的齐次方程中取得齐次方程组的基础解系于是所有通解即得方程组的一个解28设是非齐次方程组Ax=b的解,则是Ax=0的解是Ax=b的解例6※※29例7设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知是它的三个解向量,且求该方程组的通解.解取,则它就是解,从而也是基础解系.导出齐次组的基础解系所含向量个数=4–3=