线性代数 N维向量空间 第6节 线性方程组解的结构课件.ppt

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1、§4.6线性方程组解的结构第四章n维列向量空间齐次线性方程组的解的性质A=0A(k)=k(A)=0.性质1.若,都是Ax=0的解向量,则+也是Ax=0的解向量.A=0,A=0A(+)=A+A=0.性质2.若是Ax=0的解向量,kR,则k也是Ax=0的解向量.综上所述,若,都是Ax=0的解向量,k1,k2R,则k1+k2也是Ax=0的解向量.§4.6线性方程组解的结构第四章n维列向量空间V={Rn

2、A=0}Ax=0的解集构成一个向量空间——Ax=0的解空间.基础解系齐次线性方程组Ax=0的解空间的基称为该齐次

3、线性方程组的基础解系.若1,2,…,s是Ax=0的一个基础解系,则Ax=0的通解就可以表示成=k11+k22+…+kss,其中k1,k2,…,ks为常数.结构式通解(spaceofsolutions)§4.6线性方程组解的结构第四章n维列向量空间定理1.设ARmn,秩(A)=r.(1)若r=n,则Ax=0没有基础解系;(2)若r

4、=cr,r+1xr+1+cr,r+2xr+2+…+crnxnxr+1=xr+1xr+2=xr+2xn=xn………………………§4.6线性方程组解的结构第四章n维列向量空间=xr+1+xr+2+…+xnx1x2…xrxr+1xr+2…xnc1,r+1c2,r+1…cr,r+110…0c1,r+2c2,r+2…cr,r+201…0c1nc2n…crn00…1定理1.设ARmn,秩(A)=r.(1)若r=n,则Ax=0没有基础解系;(2)若r

5、.设ARmn,秩(A)=r.(1)若r=n,则Ax=0没有基础解系;(2)若r

6、+1…cr,r+110…0c1,r+2c2,r+2…cr,r+201…0c1nc2n…crn00…12=,nr=.§4.6线性方程组解的结构第四章n维列向量空间解齐次线性方程组Amnx=0的一般步骤A初等行变换行阶梯形秩(A)

7、:初等行变换该方程组的基础解系可取为通解为故原方程化为§4.6线性方程组解的结构第四章n维列向量空间与Ax=0的基础解系等价的线性无关向量组也是Ax=0的基础解系.定理2.若ARmn,秩(A)=r,则Ax=0的任意nr个线性无关的解向量都是Ax=0的基础解系.例2解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为例3证§4.6线性方程组解的结构第四章n维列向量空间非齐次线性方程组一.非齐次线性方程组的相容性定理3.设ARmn,bRm,则(3)当秩([A,b]

8、)=秩(A)

9、x=b的一个解1,…,