n维向量空间经典习题课(线性代数与空间解析几何)ppt课件.ppt

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1、1习题课一、向量组的线性相关性二、矩阵的秩、向量组的秩的求法三、关于向量组的秩、矩阵的秩的证明四、线性方程组解的结构2一、向量组的线性相关性1.向量间的线性运算：加法、数乘.把向量理解为列矩阵或行矩阵时，事实上就是矩阵的加法和数乘.注意(1)同维向量做加减.(2)零向量参与运算时，维数与其它向量维数相同.2.线性组合、线性表示(1)判断向量可由向量组线性表示的常用方法方法1只要证出就可得出3方法2证下列线性方程组有解其中4(2)在判断或证明中，常用到的两个重要结论结论1结论2若向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示式唯一.向量可由向量

2、组线性表示53.线性相关性的判别方法转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题.(1)一般方法：设数使得成立(2)利用常用结论：1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关.2个非零向量线性相关对应分量成比例.n＋1个n维向量线性相关.部分相关整体相关；整体无关部分无关.原向量组无关，维数增加后得到的新向量组依然无关；原向量组相关，维数减少后得到的新向量组依然相关.6例设线性相关，向量组线性无关，讨论：能.不能.（2）(反证法)矛盾！77(3)利用向量组的秩判断：设向量组的秩为当时，线性无关.当时，线性相关;（4）特殊地，当向量组中向量的个数与向量的维数相等时，可以计算向

3、量组构成的行列式D的值：线性相关；线性无关.等价向量组的秩相等.89例研究下列向量组的线性相关性解110解211解3计算向量组构成的行列式=012已知向量组线性无关，则向量组【】．(A)向量组(B)向量组(C)向量组(D)向量组线性无关.线性无关.线性无关.线性无关.例(C)13设A是4阶矩阵，且，则A中【】．(A)必有一列元素全为0；(B)必有两列元素成比例；(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)任意列向量是其余列向量的线性组合．例14设A是5×6矩阵,而且A的行向量线性无关，则【】例(A)A的列向量线性无关;(B)线性方程组的增广矩阵的行向量线性无关

4、；的任意四个列向量线性无关；(C)线性方程组的增广矩阵有唯一解.(D)线性方程组15例证明1617证设例1819设3阶方阵A的列分块矩阵为例解20证法1根据向量组等价的定义，寻找两向量组相互线性表示的系数矩阵C,D；证法2将向量按列放置构造矩阵,然后进行行变换化为行阶梯矩阵,计算向量组的秩,要证明216.最大无关组的证明方法：利用定义线性无关；向量组中任意r+1个向量都线性相关.(线性无关性、最大性)结论2或向量组中每一个向量都可以由它们线性表示.结论122例设是向量组A的最大无关组，且证明也是A的最大无关组.分析只需证线性无关,证123证2用线性无关的定义又是向

5、量组A的最大无关组，24证3（证与等价）向量组可由向量组线性表示.又向量组可由向量组线性表示.两个向量组等价,也是最大无关组.25求向量组的秩和最大无关组选取的步骤：（1）向量组作列向量构成矩阵A.（2）初等行变换（简化行阶梯矩阵）R(A)=B的非零行的行数.（3）求出B的列向量组的最大无关组.（4）A中与B的列向量组的最大无关组相对应部分的列向量组即为A的最大无关组.二、矩阵的秩、向量组的秩的求法26解是一个最大无关组并且考虑：还有那些最大无关组？初等行变换的一个极大无关组，例如求向量组并把其余向量用该最大无关组线性表示.一个最大无关组27三、关于向量组的秩、矩

6、阵的秩的证明关于向量组的秩的几个重要定理（2）若向量组可以由向量组线性表示，并且线性无关，那么（1）若向量组可以由向量组线性表示，则28矩阵秩的性质(1)(2)(5)若P、Q可逆,则(3)则存在可逆矩阵向量组秩的证明使得(4)即矩阵A可以经过初等变换化为形式.29(6)(7)(8)这里A,B可以是矩阵或列向量组(P1459.)证明见下一页(P1458.)证明见后30证所以A的列向量能由(A,B)列向量线性表示,同理有(P1459.)(8)证明先证明左边不等式下面证明右边不等式31设32证(P1458.)(9)证明综上，A+B的列向量能由(A,B)列向量线性表示,3

7、3关于矩阵秩的等式的证明思路思路（1）证（2）证34例设Ａ为n阶矩阵，证明证由性质35例证36已知向量组(Ⅰ)（Ⅱ）（Ⅲ）各向量组的秩分别为证明：向量组（Ⅳ）的秩为4.例线性无关，线性相关，证（*）(02-03考题)37将（*）式代入上式并化简，得线性无关，线性无关，秩为4.（*）38例分析解39例解40证例设向量组能由向量组线性表示为其中为矩阵，且线性无关.证明：线性无关的充分必要条件是41线性无关线性无关42四、线性方程组解的结构(1)R(A)=n只有零解.(2)R(A)=r

8、：化增广矩