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《线性代数N维向量空间第3节极大无关组》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§4.3向量组的极大线性无关组§4.3向量组的极大线性无关组一.基本概念列向量组:1,2,…,s矩阵A=(1,2,…,s)矩阵A的秩向量组1,2,…,s的秩r(1,2,…,s)第四章n维列向量空间行向量组:1,2,…,s矩阵A的秩向量组1,2,…,s的秩矩阵A=12s…r(1,2,…,s)§4.3向量组的极大线性无关组第四章n维列向量空间r(1,2,…,s)sr(1,2,…,s)2、,…,s线性相关§4.3向量组的极大线性无关组第四章n维列向量空间(linearlydependent)(linearlyindependent)1,2,…,s线性相关1T,2T,…,sT线性相关几个显然的结论:(1)注意:不要混淆:“矩阵A的列向量组线性相关”“矩阵A的行向量组线性相关”与如:A=101010§4.3向量组的极大线性无关组第四章n维列向量空间(2)只含有一个向量的向量组线性相关=0.(4)含有两个向量,的向量组线性相关,的分量成比例.(5)当s>n时,任意s个n维向
3、量都线性相关.例1.设1,2,3线性无关,1=1+22,2=2+23,3=3+21.证明:1,2,3线性无关.(3)含有零向量的向量组一定线性相关.§4.3向量组的极大线性无关组第四章n维列向量空间二.向量组之间的关系A:1,2,…,rB:1,2,…,s若B组中的每个向量都能由A组中的向量线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.1.给定两个向量组§4.3向量组的极大线性无关组第四章n维列向量空间能由线性表示,例如:2030,1001,但2030不能由线性表示.,1001,
4、简记为A:1,2,…,s,C:1,2,…,n.若j=b1j1+b2j2+…+bsjs,j=1,2,…,n,即=12n12s§4.3向量组的极大线性无关组第四章n维列向量空间简记为B:1,2,…,s,C:1,2,…,m.若i=ai11+ai22+…+aiss,i=1,2,…,m,即B:C:=12s§4.3向量组的极大线性无关组第四章n维列向量空间12m矩阵的乘积Cmn=AmsBsn,=行向量i=ai11+ai22+…+aiss,i=1,2,
5、…,m.列向量j=b1j1+b2j2+…+bsjs,j=1,2,…,n,向量组的线性表示:§4.3向量组的极大线性无关组第四章n维列向量空间2.向量组的线性表示与矩阵乘积§4.3向量组的极大线性无关组第四章n维列向量空间3.传递性A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),1=1+2,2=1+22,3=1+2,1=21+22=12+3=2(1+2)+(1+22)=31+42,=(1+2)(1+22)+(1+2)=1,
6、§4.3向量组的极大线性无关组第四章n维列向量空间B能由A线性表示A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),B=(1,2,3)=(1,2)=AD,111121=A(DF).C=(1,2)=(1,2,3)211101=BF,=(1,2)211101111121=(1,2)3140C能由B线性表示一般地,C能由A线性表示.若向量组B能由向量组A线性表示;同时向量组A能由向量组B线性表示,则称这两个向量组等价.§4.3向量组的极大线性无关组第四章n维列向量空间A
7、:1,2,…,rB:1,2,…,s4.给定两个向量组显然,(1)向量组A与其自身等价(反身性);(2)若A与B等价,则B与A等价(对称性);(3)若A与B等价且B与C等价,则B与A等价(传递性).例2.设有两个向量组I:1=[1,1],2=[1,1],3=[2,1],II:1=[1,0],2=[1,2].即I可以由II线性表示.则1=1+2,21212=12,23213=1+2,2321即II可以由I线性表示.1=1+2+03,21212=12+03,23
8、21故向量组I与II等价.§4.3向量组的极大线性无关组第四章n维列向量空间5.矩阵等价与向量组等价初等行变换初等行变换§4.3向量组的极大线性无关组第四章n维列向量空间A的行向量组能由B的行向量组线性表示B的行向量组能由A的行向量组线性表示矩阵A与B的行向量组等价(rowequivalent)初等列变换初等列变换§4.
