线性代数 齐次线性方程组解结构

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1、§4.3齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的性质与解空间二、基础解系及其求法本节所考虑的齐次线性方程组为简记为一、齐次线性方程组解的性质与解空间主要讨论有非零解的情况。1.解的性质证明(1)由有(2)由有表明齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。一、齐次线性方程组解的性质与解空间(1)若为的解，也是的解。则也是的解。故也是的解。即(2)若为的解，也是的解。则P118定理4.31.解的性质2.解空间称之为齐次线性方程组的解空间，解空间又称为A的零空间或者A的核。启示说明可以利用向量空间的基与维数等概念来研

2、究齐次线性方程组的解。一、齐次线性方程组解的性质与解空间齐次线性方程组的所有解构成一个向量空间，定义记为P118二、基础解系及其求法(1)线性无关；满足：(2)的任何一个解都可以由设为齐次线性方程组的一组解，定义1.基础解系线性表出。称为方程组的(一个)基础解系。P118定义4.3二、基础解系及其求法1.基础解系说明一组基础解系，其中是任意常数。(1)齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基，因此基础解系是不惟一的。(2)一组基础解系中所含的解向量的个数是惟一的，其个数即为解空间的维数。(3)如果为齐次线性方程组

3、的那么的通解可表示为P119不妨设A的前r个列向量线性无关，二、基础解系及其求法1.基础解系2.基础解系的求法于是A可化为设齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为初等行变换二、基础解系及其求法1.基础解系2.基础解系的求法相应地，齐次线性方程组等价(或同解)变形为二、基础解系及其求法1.基础解系2.基础解系的求法进一步改写为其中是自由未知量，共有(n-r)个。由此得到方程组AX=0的所有解为：二、基础解系及其求法1.基础解系2.基础解系的求法其中，任意取值。二、基础解系及其求法1.基础解系2.基础解系的求法令二、基础解

4、系及其求法1.基础解系2.基础解系的求法则(1)是方程组的一组线性无关的解，方程组的所有解可由(2)线性表示，即因此是方程组的一组基础解系。注：具体对齐次线性方程组求解时，不一定非要明确地指出基础解系，只需按前面的求解过程完成即可。二、基础解系及其求法1.基础解系2.基础解系的求法3.关于解空间的维数定理设A为阶矩阵，解空间的维数为：推论设A为阶矩阵，则(1)齐次线性方程组AX=0的任意个线性无关的解都是它的(一个)基础解系。(2)AX=0有非零解的充要条件是则齐次线性方程组AX=0的P119定理4.4P120推

5、论1推论2例求解齐次线性方程组(1)对系数矩阵施行初等行变换化为标准阶梯形解(2)由标准阶梯形得到方程组为(3)由此得到方程组的解：(4)写成向量形式为:其中任意取值。其中任意取值。例求解线性齐次方程组解初等行变换故方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量。由于令自由未知量得到方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为其中为任意常数。分别例求解线性齐次方程组解初等行变换两个线性无关的解向量。故方程组有无穷多解，由于其中为自由未知量。其基础解系中有令自由未知量得到方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为其

6、中为任意常数。分别(1)取求该方程组解空间的标准正交基附：(2)单位化从而B的三个列线性相关，故例设B是三阶非零矩阵，它的每一列都是线性齐次方程组的解，求l的值和解由于线性齐次方程组有非零解，当时，即的基础解系中只含一个解向量，因此P122例8例设A为n阶方阵，且r(A)=n-1，证明证由r(A)=n-1，有又由A中至少有一个n-1阶子式不等于零，故即的每一列都是线性齐次方程组的解，(本题在前面已经利用矩阵秩的不等式证明过)根据线性齐次方程组解空间的维数定理可得即的基础解系中只含一个解向量，不妨设为有则的每一列都

7、是的倍数，例设A为阶实矩阵，证明证(1)先证方程组和等价。由由(2)由方程组和等价，有(解空间相等)P122例9轻松一下吧……