齐次线性方程组解得结构.ppt

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1、主要内容一.齐次线性方程组解的性质二.齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组解的性质与结构、计算方法都是线性方程组的理论基础，它们在实际应用与研究上都十分重要，我们必须熟练掌握.§3.5齐次线性方程组解的结构三.齐次线性方程组解的结构四.齐次线性方程组解的计算方法11一.齐次线性方程组解的性质设有齐次线性方程组（3.12）若记21则上述方程组（3.12）可写成矩阵方程证也是它的解.性质1若是齐次线性方程组（3.12）的解，则因为是方程组（3.12）的解，故的常数k，性质2若是齐次线性方程组（3.12）的解，则对任意也是它的解.31它的线性组合推论若是方

2、程组（3.12）的s个解向量，则是任意的常数.仍是它的解.其中二.齐次线性方程组的基础解系定义3.13设为齐次线性方程组（3.12）的一组解向量，若（1）线性无关；（2）齐次方程组（3.12）的任意一个解向量都可以由线性表示.41则称是齐次线性方程组（3.12）的一个基础解系.定理3.10设A是矩阵若则方程组（3.12）存在一个由n-r个解向量构成的基础解系,且表示了方程组（3.12）的全部解，51由高斯消元法，对矩阵A进行初等行变换，将其化为行最简形阶梯矩阵先证方程组（3.12）存在n-r个线性无关的解向量证61则方程组（3.12）的同解方程组为71

3、现对取下列组数：81依次得从而求得原方程组的个解：91依次得(3.15)的截断向量组组线性无关,从而向量组线性无关.下面证明齐次线性方程组(3.12)的任意一个解向量都可以由解向量组线性表示设是线性方程组(3.12)的任意一个解向量101由齐次线性方程组解性质之推论知亦是方程组（3.12）的一个解向量，所以仍是方程组（3.12）的一个解向量，将它代入同解方程组111（3.14）中，得到从而，即可见齐次线性方程组(3.12)的任意一个解向量都可以由解向量组线性表示,故是齐次线性方程组(3.12)的基础解系.注2齐次线性方程组的基础解系是不唯一的，但不同的

4、基础解系彼此是等价，所表达的解集是相同的.的解称为线性方程组(3.12)的通解（或称一般解）.注1通常将形如121由定理3.10可得求解齐次线性方程组通解的步骤（1）对矩阵A进行初等行变换，将其化为行最简形阶梯矩阵；（2）将其行最简形阶梯矩阵转化为同解的阶梯形方程组；（3）由同解的阶梯形方程组写出方程组的一个基础解系；131（4）写出方程组的通解表达式例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简阶梯矩阵，有141151161例2解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换171即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向

5、量.将阶梯矩阵继续进行行初等变换，得行最简形阶梯矩阵181是B的列向量组的一个极大线性无关组，且有191是A的列向量组的一个极大线性无关组，且有比较原方程组的向量形式得原方程组的基础解系201或原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为211例3设矩阵A、B分别是矩阵，且试证明证当B=O时结论显然成立，现证中至少有一个是非零向量.由得将B按列分块为，则221而B的列向量都可以由线性表示,所以即故B的每个列向量都是齐次方程组的解向量这说明齐次方程组有非零解，从而有基础解系231例4证241已知三阶矩阵B≠0且B的每一个列向量都是方程组的解。（1）求λ的值

6、；（2）证明。思考题1思考题1解答251因为B的列向量是方程组的解，所以（2）因为r=2，所以方程组的基础解系只有1个解向量，3个解必线性相关，而B的列向量都是方程组的解，所以B的列向量线性相关。即系数矩阵的秩r=2故｜B｜=0.261已知齐次线性方程组思考题2【分析】显然方程组（II）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（II）有无穷多解.因为方程组（I）与（II）同解，于是方程组（I）也有无穷多解，所以方程组（I）的系数矩阵的秩小于3,从而可确定a，这样先求出（I）的通解，再代入方程组（II）确定b,c即可.同解，求a,b,c的值.271对方程

7、组（I）的系数矩阵施以初等行变换思考题2解答从而a=2.此时，方程组（I）的系数矩阵可化为，281故是方程组（I）的一个基础解系.将代入方程组（II）可得，当时，对方程组（II）的系数矩阵施以初等行变换，有显然此时方程组（I）与（II）同解.当时，对方程组（II）的系数矩阵施以初等行变换，有，291显然此时方程组（I）与（II）的解不相同.综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（I）与（II）同解.301