齐次线性方程组解的结构ppt课件.ppt

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1、1齐次线性方程组解的结构2非齐次线性方程组解的结构第三章第四讲1一、齐次线性方程组解的结构（1）齐次线性方程组则方程组(1)可写成向量方程若记回顾若为方程的解称为方程组(1)的解向量，它也是向量方程的解．则2显然齐次线性方程组总是有解，就是该方程组的一个解，这个解叫做零解，若方程组还有其他解，那么这些解就叫做非零解.方程组有非零解的充要条件是。齐次线性方程组的解有如下的性质性质（1）若为的解，则也是的解.证性质（2）若为的解，为实数，则也是的解．证证毕.由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数

2、乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．3因此，求齐次线性方程组的解就是求出解空间，这就需要求出解空间的一组基。称解空间的一组基为方程组的基础解系。定义1并称为方程组的通解。4定理1齐次线性方程组若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于n-r，其中r是系数矩阵的秩。基础解系的求法证明：系数矩阵为有非零解，从而秩r＜n.对A进行行初等变换，A可化为齐次线性方程组（1）5与之对应的方程组为令为自由未知量，得取6可得从而得到(1)的n-r个解7首先，这n-r个解向量

3、显然线性无关.其次，设()是方程组的任意解，代入方程组得8于是因此方程组的每一个解向量，都可以由这n-r个解向量所以是方程组的基础解系.定理的证明实际上指出了求齐次线性方程组的基础解系的一种方法.线性表示，9例1解齐次线性方程组解齐次线性方程组的系数矩阵为对A进行行初等变换，得10秩r＝2<4，故有非零解.其对应的方程组是基础解系为方程组的通解为11二、非齐次线性方程组解的结构称为非齐次线性方程组(不全为0).如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组，简称导出组.

4、线性方程组（2）12定理3（非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一个特解与其导出方程组的解之和。13其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为例2试求的全部解。14解对增广矩阵进行行初等行变换系数矩阵与增广矩阵的秩都是2<5，故有解。15对应的齐次线性方程（去掉常数列）的基础解系为令x3＝x4＝x5＝0，得齐次线性方程组

5、的一个特解为(30/7,-3/7,0,0,0)，(不能忽略常数列)，于是它的全部解为其中k1，k2，k3，为任意实数。16例3设线性方程组试就p,t讨论方程组的解的情况，有解时并求出解.解对增广矩阵进行行初等变换(1)当时，有惟一解17(2)当p=1，且1-4t+2pt=1-2t=0即t=时，方程组有无穷多解，此时于是方程组的一般解为(k为任意常数).(3)当p=1，但1-4t+2pt=1-2t≠0，即t≠1/2时，方程组无解.(4)当t=0时，1-4t+2pt=1≠0，故方程组也无解.18练习.设(1)求

6、A

7、；（

8、2）已知Ａｘ＝ｂ有无穷多解，求ａ，并求Ａｘ＝ｂ的通解.19２．齐次线性方程组解的情况１．齐次线性方程组基础解系的求法三、小结（一）、齐次线性方程组解的结构n=()()BRAR=n<()()BRAR=1．非齐次线性方程组解的情况2．非齐次线性方程组通解的求法（二）、非齐次线性方程组解的结构20