第21讲齐次线性方程组解的结构（已修改）ppt课件.ppt

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1、高等院校非数学类本科数学课程——多元微积分学与线性代数大学数学（三）第二十一讲齐次线性方程组解的结构脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中第五章线性方程组第二节齐次线性方程组解的结构本节教学要求：▲熟悉齐次线性方程组有非零解的条件。▲理解齐次线性方程组解的基本性质和解的结构。▲能熟练地求齐次线性方程组的基础解系。▲理解矩阵的特征值和特征向量的概念。▲能熟练地计算矩阵的特征值和特征向量。二.齐次线性方程组有非零解的条件第二节齐次线性方程组解的结构一.齐次线性方程组解的基本性质三.齐次线性方程组的通解一.齐次线性方程组解的基本性质证证二.齐次

2、线性方程组有非零解的条件证齐次线性方程组有非零解的条件问题三.齐次线性方程组的通解小结例解例解例解解线性方程组的一个应用下面讨论矩阵的特征值与特征向量定义3.1定理3.1例3.1求A的特征值和特征向量：解：例3.2求A的特征值和特征向量：解：定理3.2三、特征值和特征向量的求法齐次线性方程组(A–E)X=0有非零解设ARnn，为矩阵A的一个特征值，而X为矩阵A对应于特征值的一个特征向量。AX=X，有其中X是非零向量(A–E)X=0AX=X方程(4)是一个关于的n次多项式方程，称为A的特征方程。的n次多项式()

3、=

4、A–E

5、，称为A的特征多项式。

6、A–E

7、==0(4)–––求矩阵A的特征值，特征向量的过程(1)由特征方程

8、A–E

9、=0，求出特征值。(2)由(A–E)X=0，求出非零向量X，注：若齐次线性方程组(A–E)X=0的基础解系是X1,X2,…,Xn–r。X=k1X1+k2X2+…+Kn–rXn–r则对应于的所有特征向量X可表示成其中ki不全为0，i=1,2,…,n–r。即为对应于的特征向量。例6求的特征值和特征向量。解：A有一个特征单根1=2

10、A–E

11、==(–2)(–1)2–––(1)设A的对应

12、于1=2的特征向量为X=解方程组(A–2E)X=0A–2E=r1r3r2+4r1r3+3r1r3–r2r(A–2E)=2<3有一个自由未知量x3x1=0,x2=0取x3=1得X1=A的对应于=2的特征向量为其中k10RX=k1X1=k1(2)对于2=3=1，设对应的特征向量X=解方程组(A–E)X=0A–E=r1r3r2+4r1r3+2r1r3r2r3–2r2对应的方程组为x1=–x3x2=–2x3取x3=1,得X2=A的对应于=1的特征向量为其中k20RX=k2例7解：的特征值：例8解：的特征值和特征向量:

13、求实对称矩阵(1)解=0同理，解=0其中：，X1与X2正交。定理4设ARnn为实对称阵，则A的特征值全是实数，且对每个特征值都存在实的特征向量。定理5设ARnn为实对称阵，则A的不同特征值相应的特征向量相互正交。例9证明相似矩阵有相同的特征值设A~B，存在可逆矩阵C，使B=C1AC证明：例10证明n阶方阵A与AT有相同的特征值证明：由定义☆☆☆☆定理定理