资源描述：
《非齐次线性方程组解的结构ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、主要内容：一、非齐次线性方程组解的性质二、非齐次线性方程组解的结构三、思考与练习第4.4节非齐次线性方程 组解的结构证明１．非齐次线性方程组解的性质一、非齐次线性方程组解的性质定理4.5:证明证毕．注意:即非齐次线性方程组的解集合不是向量空间.课堂练习：二、非齐次线性方程组的通解定理4.6Ax=b的通解等于齐次方程组Ax=0的通解与Ax=b的一个特解之和.即设1,2,…,nr为Ax=0之基础解系.为Ax=b之特解.则Ax=b的通解可表为:k11+…+knrnr+.定理2:定理3:比较:线性方程组的两种解法（1）
2、应用克莱姆法则（2）利用初等变换特点：只适用于系数矩阵为方阵,且系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．例1求解方程组解例2求线性方程组的解:解对应的导出组的一般解为例3解:思考题:四、思考与练习解:主要内容:一、方阵的特征值与特征向量二、特征向量的性质三、小结思考与练习第5.1节矩阵的特征值 与特征向量一.方阵的特征值与特征向量1.特征值与特征向量的
3、定义定义1:注：设是阶方阵，若数和维非零列向量，使得成立，则称是方阵的一个特征值，为方阵的对应于特征值的一个特征向量。是方阵(2)特征向量是非零列向量(EigenvectorsandEigenvalues)说明：(1)特征值与特征向量在物理、力学、工程技术中有着广泛的应用。如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值问题;方阵的对角化及解微分方程组的问题等。这些问题中特征值的计算往往意义重大。(2)如果是一个不可逆的方阵,则线性方程组有非零解,即故不可逆方阵必有零特征值.(3)一些实际问题中,常常会涉及到一系列的运
4、算由特征值和特征向量的关系可以化简这些运算.3.特征值与特征向量的求法或已知所以齐次线性方程组有非零解或定义2：数是关于的一个多项式，称为矩阵的特征多项式。设阶方阵的个特征值为则称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）定理1：求A的特征值与特征向量的步骤:解：第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.例1：求矩阵的特征值和全部特征向量.特征值为第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解。齐次线性方程组为当时，系数矩阵自由未知量:令得基础解系:常数)是对应于的全部特征向量。齐次线性方程组为当时，常数)是对应于的全部特征向量。得基础解系
5、且仍然是矩阵分别对应于若可逆，则的特征值是的特征值是的特征向量。若的特征值是，是的对应于的特征向量，则的特征值是是任意常数)的特征值是是正整数)例3：练习题1:已知三阶矩阵A的三个特征值为1，2，3,则A的行列式等于____,A-1的三个特征值为_______,A2+2A+3E的三个特征值_______，
6、+2A+3E
7、=___________.练习题2:已知=2是非奇异矩阵A的特征值，则矩阵有一个特征值为____.证明:因为n阶矩阵的特征值由它的特征多项式唯一决定.例2:而思考题解答:二、特征向量的性质结论:定理2:定理3:定
8、理4:结论:三、小结思考与练习(2)求矩阵特征值与特征向量的步骤：(1)矩阵特征值与特征向量的概念(3)矩阵特征值与特征向量一些结论：(4)特征向量的性质练习题3:判断下列命题是否正确．(1)如果向量构成的集合是方阵的特征值，则对应的特征(2)方阵(错)的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量;(对)(3)由于方阵和有一样的特征值,故他们也有一样的特征向量.(错)(4)如果阶方阵的个特征值全为0,则一定是零矩阵.(错)取何值时，方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时，求通解。解对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形矩阵
9、例R(A)=R(B)=2<3,有无穷多解，此时原方程组的同解方程组是方程组R（A）=2，R（B）=3，方程组无解。得通解为：例3解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为例7取何值时，方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时，求通解。解对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形矩阵R（A）=R（B）=3，有唯一解方程组R（A）=2，R（B）=3，组无解；方程r（A）=r（B）=1，解形式为从而方程组有无穷多解，且通写成向量的形式
10、：例3k取何值时有唯一解,无穷多解或无解，有无穷多解时求出通解.解：法1：法2：利用Cramer法则:有无穷多解，即当时，当时，即且时，方程组有唯一解。所以方程组无解。课后练习题:2：设设为矩阵的特征值，求的特征值；若可逆，求的特征值。求的特征值与
