线性方程组解的结构

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1、辽东学院教案纸课题：高等代数第3.4.6页§4线性方程组解的结构教学目的通过2学时教学，使学生基本掌握齐次线性方程组解的结构与非齐次线性方程组解的表示，能较好地完成线性方程组的求解．教学内容在§3中，我们利用矩阵秩的语言回答了线性方程组解的两个基本问题，本节将回答第三个基本问题，即阐述线性方程组解的结构．4.1齐次线性方程组情形给定数域F上的一个n元齐次线性方程组，(1)它的系数矩阵．(1)的每一个解叫做它的解向量；(1)的解向量的全体，即(1)的解集叫做齐次或线性方程组(1)的解空间．由§1例6知道，(1)的解空间就是矩阵A的零空间N(A)．于是由推论3.3.2知道，若rankA＜n，则

2、(1)的解空间是的非零子空间．因而由定理3.3.1知道齐次线性方程组的(1)的解空间有一个基．于是，我们引入定义1设rankA＜n，称齐次线性方程组(1)的解空间的一个基为(1)的一个基础解系．因此，称是齐次线性方程组(1)的一个基础解系，如果，并且满足1)是线性无关的；2)齐次线性方程组(1)的每一个解向量都可以由线性表示．现在的问题是，设rankA=r，问(1)的一个基础解系所含向量的个数t为何?如何求(1)的一个基础解系?对此，我们来证明定理3.4.1设数域F上的n元齐次线性方程组如(1)所示．若rankA=r＜n，则(1)的基础解系存在，且它的每一个基础解系所含解向量的个数都等于n

3、－r．证由定理1.1.1知道，(1)经过初等变换可以化为与它同解的阶梯形齐次线性方程组．设这个阶梯形线性方程组的系数矩阵为B．由定理2.6.1有rankB=rankA=r．因此，B的后m－r行皆为零行，且有一个r阶子块为．不妨设置于B的左上角(一般情况下，只要对未知量适当调换为就可达到)．因此，可设辽东学院教案纸课题：高等代数第3.4.6页．由此，易见(1)的一般解为．(2)让自由未知量分别取下面的n－r组值：(3)则得(1)的n－r个解：，，…，．易见有一个n－r阶子式．于是，由推论3.2.2知道线性无关．现在，我们来证明(1)的任一个解向量可经线性表示．由(2)，(1)的这个解向量的分

4、量满足．于是，可表示为辽东学院教案纸课题：高等代数第3.4.6页．因此，是(1)的一个基础解系．故由基础解系的定义与推论3.2.5知道本定理正确．推论3.4.1设rankA=r＜n，则齐次线性方程组(1)的任意n－r个线性无关的解向量是(1)的一个基础解系．定理3.4.1的证明还提供了求齐次线性方程组(1)的一个基础解系的方法，其步骤大致为：1)对(1)的系数矩阵A作行的初等变换，将它化为阶梯形矩阵B；2)由B确定(1)的n－r个自由未知量，并得到如(2)所示的(1)的解的一般表达式；3)对(1)的n－r个自由未知量确定类似(3)所示的n－r组值，并由(2)得到(1)的n－r个解向量，它就

5、是(1)的一个基础解系．例1求下列齐次线性方程组的一个基础解系：．解对这个方程组的系数矩阵作行的初等变换化为阶梯形矩阵．于是，这个齐次线性方程组的一般解为，其中为自由未知量．让自由未知量分别取(5，0，0)，(0，5，0)，(0，0，5)，则得这个线性方程组的一个基础解系为辽东学院教案纸课题：高等代数第3.4.6页，，．4.2非齐次线性方程组情形·线性流形给定数域F上的一个n元非齐次线性方程组，(4)它的系数矩阵,增广矩阵.当时，(4)变为(1)．此时，称(1)为(4)的导出组．线性方程组(4)的解与它的导出组的解之间有如下关系：命题3.4.1设是线性方程组(4)的两个解，则它们的差是(4

6、)的导出组的一个解，即．证因为，所以．命题3.4.2设是(4)的一个解，是(4)的导出组的一个解，则是(4)的一个解．证因为,所以是(4)的一个解．为了表示(4)的解，我们来看线性方程组x－2y=－4．Yg0+hL=g0+Wg0hWXo它的解集是平面上的一条直线L，L不过原点，但可以看成是过原点的直线W:x－2y=0与x－2y=－4的一个特解之和(如图3－1所示)．因此，我们引入图3－1定义2设W是的一个线性子空间，是的一个给定向量，那么的一个子集叫做一个W型的线性流形；并把dimW叫做线性流形的维数．由于，因此子空间W也是一个线性流形．但辽东学院教案纸课题：高等代数第3.4.6页一般不是

7、的子空间；是的子空间，当且仅当．现在，我们来表述(4)的解集．定理3.4.2设数域F上的n元非齐次线性方程组(4)有解，则(4)的解集是一个W型的线性流形，其中是方程组(4)的一个解向量(叫做(4)的特解)，W是(4)的导出组的解空间．证设(4)的解集为L,则由命题3.4.2知道+WÍL．反之,设,则由命题3.4.1知道.于是有，使得，即．所以．由定理3.4.2易见推论3.4.2设线性方程组(4)有解，则(4)有唯一解的