线性方程组解的结构研究

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1、作为数学的重要分支，高等代数具有为其丰富的内容及广泛的应用价值，而线性方程组又是其重要的组成部分。作为一种基本的工具，线性方程组在数学学科以及其他科学技术领域，如数值分析，最优化理论，经济学，运筹学，控制理论，力学电学，信息科学与技术，管理科学与理论等学科都具有十分重要的应用。而齐线性方程组与非齐线性方程组是线性方程组理论中的两个重要部分，并且齐线性方程组与非齐线性方程组解的在结构上存在密切的联系，可见研究线性方程组解的结构及应用主要是研究齐线性方程组与非齐线性方程组解的结构及应用。1相关概念%內+如兀2+•••+%/”定义1线性方程组＜122〜2…2中当勺,仇,…,仇

2、二0时，此方程纟1［称耳］兀］+色2兀2+…+硯百=bn为齐次线性方程组。定义2（线性组合）向量Q称为向量组肉,02，・・・,几的一个线性组合，如果有数域“中的数人，心，…,心，使a=+k2p2+・••+ks0so定义3（线性相关）如果向量组Q］,G2,…,»2）屮有一个向量可以由其余的向量线性表岀，那么向量组內,色，…S称为线性相关，若一纽•向量不线性相关，就称为线性无关。定义4（极大线性无关组）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如杲还有的话），所得部分向量组都线性相关。极大线性无关组一•般不唯

3、一，但是极大线性无关组所含的向量的个数唯一川。定义5（向量纽的秩）少,冬，…，匕是一组向量，向量组的极大线性无关组所包含向量的个数就称为向量组的秩。所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组中极大线性无关组所包含行向量的个数；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组中极大线性无关组所包含列向量的个数的秩，并且矩阵行向量的秩等于列向量的秩。定义6（基础解系）齐次线性方程组的一组解小心，…,①称为该方程组的一个基础解系，如果方程组的任一个解都能表成m，%，…，a的线性组合，…，z线性无关。2线性方程组求解的基本方法2.1克拉默法则法如果线性方程组5兀i+al2x2+--+a[nxn=b}a2}

4、xy+a21x2+・・・+。2“兀”=bi(1)的系数炬阵d“X+色2兀2+…+色凡=bna\an的行列式d=AHO,那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表示为:xi=y^2=牛，…，兀七aaa(2)其中％是矩阵A中第丿•列换成方程组的常数项九匕,…匕所成的矩阵的行列式，即…5j+i…仏dJ=。21…■■■■■•b2■■•a2,j+.…a••••••,j=1,2,•••,/?anl…anj-yClnJ+…%证明把方程组（1）简写为n7-1i=1,2,•••/首先来证明（2）的确是（1）的解。把（2）代入第i个方程，左端为nZ/-IJ1n-dT.

5、audjaj=因为dJ=blAu+妇亀+…+乞九=2＞内所以有]Z7Z71)b=—-db.=bias=)=ia这与第i个方程的右端一致。换句话说，把(2)代入方程使它们同时变成恒等式，因(2)确为方程组(1)的解。设6,0,…,5)是方程组(1)的一个解，于是有72个恒等式工勺勺=/?,i=1,2,…,〃(3)j-i为了证明5丛,我们取系数矩阵中第k列元素的代数余子式九,码‘,…，九用它们分a别乘⑶中〃个恒等式,有九工知勺=E，心1,2,…丿，戶1这还是"个恒等式。把它们分别加起来，即得£九£佔=£也⑷/=!7=1:=1等式右端等于在行列式d按第k列的展开式屮把％分

6、别换成勺.(心1,2,…曲)，因此它等于把行列式d中第k列换成b、叽…，叽所得的行列式，也就是如。再來看(4)的左端。即工九1＞产广工2＞內廿工工知仏广工(工QijAikXj/=1j=i/=1j=lj=/=1j=1=1孕…-[0,当“匕z(z知九虬=dck/=!r=l于是，(4)化为dck=dk,k=1,2,…•，斤也就是这就是说，如杲（cpc2<--,cj是方程组的一个解，它必有（g,・・・,》（牛台，…，牛）因而方程组只有一个解。例1利用cramer法则解方程组2兀］+兀2一5兀3+兀4=8xx一3兀2一6兀4-9xx+4兀2一7兀3+6兀4=°解方稈组的系数行

7、列式1-324-50-1-71-62627工0,因此可以应用cramer法则。由于89-501-324-50-1-71-626210189-50-50-1-7=-108,218121-58D3=1-39--6=-27,da=1-30902-5202-1-5140614-70所以方程组的唯一解为xx=3,x2=_4,兀3=丄％4==12.2消元法以卜•三种变换称为线性方程组的初等变换,1用一非零的数乘某—•方程；2互换两个方程的位置；3把一个方程的倍数加到另一个方程。所谓消元法，就是用初等变换的方法解线性方程组。定理1线性方程组(5)经初等