线性方程组的解结构

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1、线性方程组的解结构齐次线性方程组的解结构非齐次线性方程组的解结构齐次线性方程组的解结构例1.判别方程组有无非零解,若有,写出其通解.解在MATLAB中输入该方程组的系数矩阵A并将它化为最简行阶梯形矩阵,所用命令如下:>>A=[12-1;252;147;133];>>rref(A)运行结果为ans=10-9014000000由阶梯形矩阵可知R(A)=2<3,所以齐次线性方程组有非零解,即有无穷多个解.该齐次线性方程组通解的参数形式为其中k为任意实数.例2.用基础解系表示齐次线性方程组的通解.解所用MATLAB命令及运行结果为>>A=[11111;3211

2、-3;01226;5433-1];>>formatrat>>B=null(A,′r′)%求基础解系B=115-2-2-6100010001>>symsk1k2k3%定义符号参数>>X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+k3*B(:,3)X=[k1+k2+5*k3][-2*k1-2k2-6k3][k1][k2][k3]即为方程组的通解,其中k1,k2,k3为任意实数.非齐次线性方程组的解结构例3.求解方程组解在MATLAB中输入系数矩阵及常数列向量,并检验系数矩阵是否逆,所用命令及结果如下>>A=[211;312;1-10];>>b=[33-1]′;>

3、>det(A)%检验A是否可逆ans=2系数矩阵行列式值等于2,是可逆的,则可以用矩阵相除来求解.>>X=AbX=12-1即是原方程组的解.例4.求解方程组解先用MATLAB函数null求出对应的齐次线性方程组的基础解系,再利用其系数矩阵的上、下三角阵求出方程组的一个特解,这样即可得到该方程组的通解,程序如下:>>A=[11-3-1;3-1-34;15-9-8];>>b=[140]′;>>formatrat>>C=null(A,′r′);%求基础解系>>[L,U]=lu(A);%A=LU,L为上三角阵,U为下三角阵>>X0=U(Lb)%用LU求出一个

4、齐次方程的特解>>symsk1k2>>X=k1*C(:,1)+k2*C(:,2)+X0运行结果为X0=00-8/153/5X=[3/2*k1-3/4*k2][3/2*k1+7/4*k2][k1-8/15][k2+3/5]即为该非齐次方程组的通解,其中k1,k2为任意实数.