线性方程组解结构

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1、§4-4线性方程组的解的结构一、齐次线性方程组解的结构设有齐次线性方程组(1)若记,则方程组(1)可写为向量方程(2)称方程(2)的解为方程组(1)的解向量.1．齐次线性方程组解的性质:性质1若为方程组(2)的解,则也是该方程组的解.性质2若为方程组(2)的解,为实数,则也是(2)的解.注:齐次线性方程组若有非零解,则它就有无穷多个解.2.齐次线性方程组的基础解系.齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。当一个齐次线性方程组只有零解时,该方程组没有基础解系;而当一个齐次线性方程组有非零解时,是否一定有基础解系呢?如果有的话,怎样去求它的基础解系?下面

2、的定理回答了这两个问题.定理设矩阵A的秩，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩二、非齐次线性方程组解的结构设有非齐次线性方程组(3)它也可写作向量方程(4)性质3设是非齐次线性方程组的解,则是对应的齐次线性方程组的解.性质4设是非齐次线性方程组的解,为对应的齐次线性方程组的解，则非齐次线性方程组的解.定理2设是非齐次线性方程组的一个解,是对应齐次线性方程组的通解,则是非齐次线性方程组的通解.注：设有非齐次线性方程组，而是系数矩阵的列向量组，则下列四个命题等价：(1)非齐次线性方程组有解；(2)向量能由向量组线性表示；(3)向量组与向量组，等价；(4).例1求齐次线性方程

3、组的基础解系与通解.例2求出一个齐次线性方程组,使它的基础解系由下列向量组成:例3求下列方程组的通解例4设四元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为3,已经它的三个解向量为其中,求该方程组的通解.