34线性方程组解的结构

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1、3.4线性方程组解的结构当线性方程组冇无穷多解时，能否用冇限个解把无穷多个解全部表示出來，这就是我们将要讨论的线性方程组解的结构问题.一齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组(6)表示为磁=0如果西=4皿=°…人=4为齐次线性方程组⑹的解，则称为方程组⑹的解向量,它也是矩阵方程的⑺的解.根据矩阵方程(7),我们来讨论解向量的性质。性质1若心4,⑺的解，则心4十4也是(7)的解。证只耍验证满足方程(7)：心=^44-^=o+o=o[i

2、j4+4也是方程组(7)的解.证毕性质2若X"为(7)的解，己为实数，则也是(7)的解.证-

3、=c(X©=cO=0即C'也是方程组(7)的解.证毕性质3若….S为⑺的解，对丁•…s的任意-组常数，则其线性组合也是⑺的解..=■即线性纽合M十**…十g也是方程组⑺的解.证毕从第二节齐次线性方程组的例题中可知,对于<元齐次线性方程组丛=°,若尸5=r

4、用增广矩阵的初等行变换把增广矩阵转化为行最简烈，可得同解方程组.对于r^=r<"，我们可得用向柿:表示的一般解形式，与含冇恥一尸个任意帘数相乘的向呆就是线性无关的解向呆组.在上-节的例6中，系数矩阵丄的秩「⑷二2<4=tf而未知量的个数"4,则自由未知量的个数为4-2=2,这时方程组无穷解的一般表达式屮含2个任意常数啦宀方程组解向量的一般表达式为：可得解向量比G.则是线性无关的解向量组.依据上面的讨论，对于齐次线性方程组给出一个重要的概念.定义3.1已知齐次线性方程组就=°有无穷多解，并且含有-个自由未知量,若解向量的一般

5、表达式为―也十“加十血円外…竝为任意常数)则称向强44…为齐次线性方程组的一个基础解系.根拥齐次线性方程组解的性质以及求解过程,我们可以判定齐次线性方程组解的基础解系不唯有无穷多组,但是它们含有解向量的个数不变，并且都等于口由未知量的个数•构成基础解系的解向量是线性无关的.从而可得齐次线性方程纽•解的重耍定理.定理3.1<元齐次线性方程组盈=0,若系数矩阵三的秩r(jQ=r

6、么齐次线性方程纽山=°的求解问题转化为求方程纽的基础解系问题，而基础解系的求法就是求解线性方程组得到的-•般农达式中，与任意常数作线性组合的向量组既是一个基础解系.在例7中，基础解系含一个解向量解向量11）为所给方程组的一个基础解系.在例6屮,基础解系含冇2个解向量，(%)解向量1°丿与V丿为所给方程纽.的-个基础解系.1.已知齐次线性方程组号4-卡=0>・珂一窃4号一3召=043斗=0求方程组的全部解，并求岀一组丛础解系.解：对增广矩阵二作初等行变换，化成简化的阶梯型矩阵，有斗:;;I。02陀p-i-iia诩＞001・2

7、0[o000oj-100I00于是，原方程组的同解方程组为即无=E+&=召*0$r3=0X

8、+2无**=丹丸为门由未知量）若令叼之“々=ci则上式可表示为（其中刁•右为任意常数）若令4=/V/,则覇恳为原方程组的-个基础解系.原方程组的通解可农示为.二非齐次线性方程组解的结构设冇非齐次线性方程组AX=B通常把上式右端换成零向暈-所得到的齐次线性方程组AX=Q（7）称为与非齐次线性方程纽（1）和对应的齐次线性方程组.性质4设濟及心殆都是方程组⑹的解，则赛ff为对应齐次方程⑺的解。证5-柚=他-松"7=0即4載f是方程组（

9、7）的解。性质5设*=炉是方程组（6）的解，*=©是方程组（7）的解，则臂仍是方程纽(6)的解°证Xi+V)==04-fl=fl即4"♦是方程组⑹的解。证毕由以上这两个性质即可以证明非齐次线性方程组解的结构定理.定理3.2设：是非齐次线性方程组AX=B的一个解，昴■炀是相应齐次线性方程组血"的棊础解系,则方程组从=*_•般解为x=CA+<=16+T(8)其中与n为任意常数.证由性质1,性质3和性质5易知，”=巧厶十也十…十矽是方程纽磁"的解,为证它是磁"的…般解,只要证方程血〃的任意-解都可以表示成*=也+■••”的形式即

10、可.设；是磁=8的任意一解，己知；也是M=B的一个解，曲性质4,：是4T=0的解，乂°3二4▼是齐次线性方程组磁的慕础解系,故存在-组常数巧外…'J,使即7=<：A+<=

11、A+•也'定理证毕.例3・求解方程组4-^=0JQ-哥4%—女I=1解：对增广矩阵二作初等行变换，化成简化的阶梯型矩阵,有可见/<4