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1、§3.6线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构（1）1．解的性质性质1方程组（1）的两个解的和还是（1）的解.证明设与是方程组⑴的两个解.则两个解的和为(2)代入方程组，得即⑵是方程组的解.证毕性质2方程组（1）的一个解的倍数还是（1）的解；证明设是⑴的一个解，因为 所以还是方程组的解.证毕由性质1和性质2得：性质3方程组（1）的解的任一线性组合还是（1）的解．2．基础解系定义齐次线性方程组（1）的一组解，若满足1)线性无关；2)（1）的任一解可由线性表出．则称为（1）的一个基础解系．3．基础解系的存在性定理1在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并
2、且基础解系所含解向量的个数等于，其中．证：若，不防设，则方程组（1）与方程组（2）同解,用组数(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1)代入自由未知量，就得到（2）的解，也就是（1）的个解则为方程组(1)的一个基础解系.ⅰ)线性无关事实上，若，即比较最后n－r个分量，得.因此,线性无关.ⅱ)任取方程组（1）的一个解，可由线性表出．事实上，由是方程组（1）的解知：也为（1）的解，又=（）它与的最后个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解，即．由ⅰ)ⅱ)知，为（1）的一个基础解系．证毕推论任一与方程组（1）的某一基础解系等价的线性无关的向
3、量组都是方程组（1）的基础解系．证明：为（1）的一个基础解系，线性无关，且与等价，则，且可由线性表出，即也为（１）的解向量．任取方程组（１）的一个解向量，则可由线性表出，从而可由线性表出．又线性无关，所以也是基础解系．证毕4.基础解系的求法我们只要找到齐次线性方程组的个自由未知量，就可以获得它的基础解系.具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩.把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余个未知量移到等式右端，再令右端个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到个解向量，这个解向量构成了方程组的基础解系.方程
4、组（1）的任一解即通解可表为例1求齐次线性方程组的一个基础解系。解用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：，于是r，基础解系中有r=5-3=2个向量。阶梯形矩阵所对应的方程组为移项，得取，得一个解向量；取得另一解向量.即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为二、非齐次线性方程组解的结构对于非齐次线性方程组解（3）令,得（4）称（4）为（3）的导出组．１．解的性质性质1设、为方程组（3）的两个解，则为其导出组（4）的解．证明==是方程组（3）的两个解，即它们的差是-=显然有.即-=是导出组(4)的一个解.证毕性质2设为方程组（3）的一个解，为其导出组（4）的解，则仍
5、为方程组（3）的解．证明设=是方程组(3)的一个解，即又设=是导出组(4)的一个解,即显然证毕２、解的结构定理若为（3）的一个特解，则方程组（3）的任一解皆可表成，其中为其导出组（4）的一个解.从而有：方程组（3）的一般解为其中为（3）的一个特解，为导出组（4）的一个基础解系．证明 显然有性质１知，是导出组(4)的一个解，令 =则.证毕推论方程组（3）在有解的条件下，有唯一解（3）的导出组（4）只有零解．３．求非齐次线性方程组（3）的一般解的步骤：1）求出其导出组的基础解系；2）求出其一个特解；3）方程组（3）的一般解为．例２ 求解方程组解：可见，方程组有解，并有取
6、，则，即得原方程组的一个特解 ．下面求导出组的基础解系：导出组与同解．取，得；取，得．于是原方程组的通解为 ．三、典型例题例1（高数二）取何值时,方程组无解,有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解解对方程组的增广矩阵作初等行变换于是,当时,原方程组无解.当且时,原方程组有唯一解.当时,原方程组有无穷多解,其通解为为任意实数.例2（厦门大学）问为何值时,线性方程组有解,并求出解的一般形式解对方程组的增广矩阵进行初等变换当即时,方程组有解,这时方程组为而为其同解方程组,解之得其中k为任意常数例3（高数三）已知线性方程组问方程组什么时候有解？什么时候无
7、解？有解时,求出相应解.解方程组系数矩阵的行列式为可见（1）当且方程组有唯一解,其唯一解由克莱姆法则求出,为（1）当时,原方程组的增广矩阵为可见当时,秩（）=2秩=3,方程组无解.当时,原方程组等价通解为其中为任意常数例4（高数四）讨论线性方程组当取何值时,方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？在方程组有无穷多组解的情况下,求出一般解.解对增广矩阵作初等行变换,有（1）当时,秩（）=秩=4,方程组有唯一解.（2）当时,有若,则秩（）=3秩=4,方程组无解.若则秩（）=秩=3,方程组有无穷多解,且,其同解方程组为故一般解为其中为任意常数.例5（高数三）已知及（1）为
