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1、线性方程组解的结构精品文档第六节线性方程组解的结构内容要点：一、齐次线性方程组解的结构设有齐次线性方程组(1)若记,则方程组(1)可写为向量方程(2)称方程(2)的解为方程组(1)的解向量.1．齐次线性方程组解的性质:性质1若为方程组(2)的解,则也是该方程组的解.性质2若为方程组(2)的解,为实数,则也是(2)的解.注:齐次线性方程组若有非零解,则它就有无穷多个解.由上节知：线性方程组的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的，因此构成一个向量空间.称此向量空间为齐次线性方程组的解空间.定义1齐次线性方程组的有限个解满足:(1)线性无关;(2)的任意一个
2、解均可由线性表示.则称是齐次线性方程组的一个基础解系.注：方程组的一个基础解系即为其解空间的一个基,易见方程组基础解系不是唯一的，其解空间也不是唯一的.按上述定义，若是齐次线性方程组的一个基础解系.则的通解可表示为其中为任意常数.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档当一个齐次线性方程组只有零解时,该方程组没有基础解系;而当一个齐次线性方程组有非零解时,是否一定有基础解系呢?如果有的话,怎样去求它的基础解系?下面的定理1回答了这两个问题.定理1对齐次线性方程组，若,则该方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于,其中是方程组所含未知
3、量的个数.注：定理1的证明过程实际上已给出了求齐次线性方程组的基础解系的方法.且若已知是线性方程组的一个基础解系，则的全部解可表为(4)其中为任意实数.称表达式（4）线性方程组的通解.二、解空间及其维数设A为矩阵,则n元齐次线性方程组的全体解构成的集合V是一个向量空间,称其为该方程组的解空间,当系数矩阵的秩时,解空间V的维数为.当时,方程组只有零解,此时解空间V只含有一个零向量,解空间V的维数为0;当时,方程组必含有个向量的基础解系,此时方程组的任一解可表示为其中为任意实数.而解空间V可表示为二、非齐次线性方程组解的结构设有非齐次线性方程组(5)它也可写作向量
4、方程(6)性质3设是非齐次线性方程组的解,则是对应的齐次线性方程组的解.性质4设是非齐次线性方程组的解,为对应的齐次线性方程组的解，则非齐次线性方程组的解.定理2设是非齐次线性方程组的一个解,是对应齐次线性方程组的通解,则是非齐次线性方程组的通解.注：设有非齐次线性方程组，而是系数矩阵的列向量组，则下列四个命题等价：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档(1)非齐次线性方程组有解；(2)向量能由向量组线性表示；(3)向量组与向量组，等价；(4).例题选讲：例1求下列齐次线性方程组的一个基础解系:例2(讲义例1)求齐次线性方程组的基础解系与通解.注：在第一
5、节中，线性方程组的解法是从例1中的式直接写出方程组的全部解（通解）.实际上可从例1中的式先取基础解系,再写出通解,两种解法其实没有多少区别.例3(讲义例2)用基础解系表示如下线性方程组的通解.例4求解下列齐次线性方程组:例5求解齐次线性方程组:例6(讲义例3)证明例7(讲义例4)求出一个齐次线性方程组,使它的基础解系由下列向量组成:收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档例8(讲义例5)求下列方程组的通解例9求解下列非齐次线性方程组:例10求解下列线性方程组:例11(讲义例6)设四元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为3,已经它的三个解向量为其中,求该方程组
6、的通解.课堂练习1.求线性方程组的通解.2.设矩阵,满足并且试证:收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
