线性代数基本概念

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1、新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数基本概念对称矩阵。反对称矩阵。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1，台角正上方的元素都为0。如果是一个阶矩阵，是阶梯形矩阵是上三角矩阵，反之不一定矩阵消元法：（解的情况）①写出增广矩阵，用初等行变换化为阶梯形矩阵。②用判别解的情况。i）如果最下面的非零行为，则无解，否则有解。ii）如果有解，记是的非零行数，则时唯一解。时无穷多解。iii）唯一解求解的方法（初等变换法）去掉的零行，得，它是矩阵，是阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。则都不为。就是解。一个阶行列式的值：①是项的代数和②每一项是个元素的乘积，它们共有项其中是的一个全排列。③

2、前面乘的应为的逆序数代数余子式-17-新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数为的余子式。定理：一个行列式的值等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为。范德蒙行列式个乘法相关的位元素是的第行和的第列对应元素乘积之和。乘积矩阵的列向量与行向量（1）设矩阵，维列向量，则矩阵乘法应用于方程组方程组的矩阵形式，方程组的向量形式（2）设，的第个列向量是的列向量组的线性组合，组合系数是的第个列向量的各分量。的第个行向量是的行向量组的线性组合，组合系数是的第个行向量的各分量。矩阵分解当矩阵的每个列向量都是的列向

3、量的线性组合时，可把分解为与一个矩阵的乘积特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题-17-新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数对角矩阵从右侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各列向量对角矩阵从左侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各行向量于是，，两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘对角矩阵的次方幂只须把每个对角线上元素作次方幂对一个阶矩阵，规定为的对角线上元素之和称为的迹数。于是其他形式方阵的高次幂也有规律例如：初等矩阵及其在乘法中的作用（1）：交换的第两行或交换的第两列（2）：用数乘的第行或第列（3）：把的第行的倍加到第行上，或把的第列的倍加到第列上。初

4、等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵等同于对作一次相当的初等行（列）变换乘法的分块法则一般法则：在计算两个矩阵和的乘积时，可以先把和用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求的纵向分割与的横向分割一致。两种常用的情况（1）都分成4块，-17-新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数其中的列数和的行数相等，的列数和的行数相关。（2）准对角矩阵矩阵方程与可逆矩阵两类基本的矩阵方程（都需求是方阵，且）（I）的解法：（II）的解法，先化为。。通过逆求解：，可逆矩阵及其逆矩阵定义：设是阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得，且，则称是可逆矩阵，称是的逆矩阵，证作。定理：阶矩阵可逆求的方程（初等变换法）

5、伴随矩阵-17-新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数线性表示可以用线性表示，即可以表示为的线性组合，也就是存在使得记号：线性相关性线性相关：存在向量可用其它向量线性表示。线性无关：每个向量都不能用其它向量线性表示定义：如果存在不全为的，使得则称线性相关，否则称线性无关。即：线性相（无）关有（无）非零解有（无）非零解极大无关组和秩定义：的一个部分组称为它的一个极大无关组，如果满足：i）线性无关。ii）再扩大就相关。定义：规定的秩。如果每个元素都是零向量，则规定其秩为。-17-新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数有相同线性关系的向量组定义：两个向量若有相同个

6、数的向量：，并且向量方程与同解，则称它们有相同的线性关系。①对应的部分组有一致的相关性。的对应部分组，若相关，有不全为的使得，即是的解，从而也是的解，则有，也相关。②极大无关组相对应，从而秩相等。③有一致的内在线表示关系。设：，，则即，即。与有相同的线性关系即与同解。反之，当与同解时，和的列向量组有相同的线性关系。矩阵的秩定理：矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩规定行（列）向量组的秩。的计算：用初等变换化为阶梯形矩阵，则的非零行数即。命题：的非零子式阶数的最大值。-17-新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数方程组的表达形式1．2．是解3．有解基础解系和通解1．有非零

7、解时的基础解系是的基础解系的条件：①每个都是的解②线性无关③的每个解③/通解①如果是的一个基础解系，则的通解为，任意②如果是的一个解，是的基础解系，则的通解为，任意特征向量与特征值定义：如果，并且与线性相关，则称是的一个特征向量。此时，有数，使得-17-新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数，称为的特征值。设是数量矩阵，则对每个维列向量，，于是，任何非零列向量都是的特征向量，特征值都是。①特征值有限特征向量无穷多若，②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。③计算时先求特征值，后求特征向量