等价无穷小代换在求极限过程中的应用.pdf

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1、高等数学研究X?.Y$)P?Y;;IJKLMNOJNPQRSSOTOUVKWOUVKNQJJZ[F)9##9等价无穷小代换在求极限过程中的应用!李秀敏王灵色"河北科技大学理学院河北石家庄#$##%&’等价无穷小代换是一种很灵活的求极限方法(如果用来替换的无穷小选择恰当的话)可以使计算简化(但替换中要严格遵守无穷小替换法则)即-,--,定理%在自变量同一变化过程中)设*+*,)-+-,)且./0存在)则./01./0*,**,证明见2%3(定理%说明)无穷小替换只能在积商运算中使用(其实不然)等价无穷小代换也能在多项式无穷小之比时使用(

2、467/894例%求./045#4:7/8944694%解原式1./01645#4:94;<=8467/84例9求./0;45#4464解原式1./0;1#45#4例%正确)但例9错误(事实上)<=8467/847/84"%6>?74’%./0;1./09145#445#4@4@>?749究其原因)无穷小代换在多项式之比中使用时)必须满足一定条件(定理9设*+*,)-+-,)则"%’若*与-不等价)则*6-+*,6-,"9’若*与-等价)则*6-与*,6-,未必等价*证"%’若*与-不等价时)即./01A"A是常数且AB%’)于是C-

3、*6-*D-6%A6%若AB#)则./01./011%(*,6-,*,D-6-,D-A6%*6-*D-6%#6%若A1#)则./01./011%(*,6-,*,D-6-,D-#6%-*6-%6-D*%6#若./01#)则./01./011%(**,6-,*,D*6-,D*%6#"9’以例9为例)当45#时)<=84与4等价)7/84与4等价)但<=8467/84与464并不等价(推论设*)-)E是自变量同一变化过程中的无穷小量)且*+*,)-+-,)则*6-*,6-,"%’当*与-不等价时)则./01./0FEE"9’当*与-等价时)

4、上式极限未必成立(4.8"%:4’:"G6%’例;求./045#7/8;4:<=8$46=H>7/8I4解利用定理9)于是!收稿日期C9##%#I%9(第*卷第)期李秀敏W王灵色S等价无穷小在求极限过程中的应用)V%(%原式!"#$!-.%&’)%(*%+,%-定理)设/0/1230312且"#$4-(/1531!62则--"#$4-(/53!"#$4-(/1531!6证"#$"74-(/5-"74-(/531--3!"#$88"74-(/1531!"#$4-(/1531!"76"74-(/153-%>例9求"#$4;<=5%&:

5、%解;<=-!-+>4=#7-5>24=#7-5>04-5>2所以%>%>%>%-%>->%>-+-原式!"#$4-+>?>5!"#$@4-+>5A>!B>C%&:9%%&:>%>%+例*求"#$;<=%+B>9%&’%>9>>9解;<=%0-+%%+%%-%(2B>0-+(82所以>9D>D9>D>+%--9;<=%+B>04+5%9D9?>D--4+5原式!"#$9D98>D8%9!-+-!+-C9%&’%9D98>D->例92例*说明2在幂指函数极限和EFG"

6、主编I高等数学4上册54第四版5C高等教育出版社2-JJ,年I>符世斌I幂指函数极限的一种简捷求法I高等数学研究2-JJJIJKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK4上接)*页5%%%%%%因为"#$4L(M+>5N%!)"#$L(M+>!)"#$L"7L(M"7M!)"7LM!"74LM5)N>%&’>)>%&’%>%&’->%%由定理-可知"#$L(M)"74LM5)N>)N>45%!B!4LM5%&’>例)下列各式中正确的有45个-;!(

7、:4>5"#$4-+%5!B%(+%&’%&’--4)5"#$4-("7%5%+-!B495"#$4-(%5>!’%%&-+%&’465-4P5>4Q5)4R59=#7%+%解S因为"#$>!(:2由定理>知4-5成立.又因为"#$!+-2由定理-知4>5式正确.%&’(%%&’+OF7%%由"7%!"74-(4%+-550%+-4%&-52可知4)5式正确.因为"#$>!+:2由定理>知495式也是+%%&’对的2综上可知应选4R5.参考文献@-A符世斌C幂指函数极限的一种简捷求法C高等数学研究2>T)4-JJJ52>’U>-等价无

8、穷小代换在求极限过程中的应用作者：李秀敏，王灵色作者单位：河北科技大学理学院,河北石家庄,050018刊名：高等数学研究英文刊名：STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS年，卷(期)：2002，5(3)被引