等价无穷小代换公式 用等价无穷小代换求极限中的一些问题

《等价无穷小代换公式 用等价无穷小代换求极限中的一些问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、等价无穷小代换公式用等价无穷小代换求极限中的一些问题维普资讯http://www.cqvip.com５　６ＳＵＤＩ　Ｎ　ＴＥＳＩＣＯＬＬＥＧＥ　ＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ　高等数学研究　Ｖｏ．１ＮＯ５１１，．　Ｓｅｐ．，００８２　用等价无穷小代换求极限中的一些问题　陈新明　（仲恺农业技术学院计算科学系广州５０２）　　等价无穷小代换公式用等价无穷小代换求极限中的一些问题维普资讯http://www.cqvip.com５　６ＳＵＤＩ　Ｎ　ＴＥＳＩＣＯＬＬＥＧＥ　ＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ　高等数学研究　Ｖｏ．１

2、ＮＯ５１１，．　Ｓｅｐ．，００８２　用等价无穷小代换求极限中的一些问题　陈新明　（仲恺农业技术学院计算科学系广州５０２）　　１２５　摘　要　学生用等价无穷小代换求极限的过程中出现许多我们认为是错误的方法，但有些错误的方法又能够　得到正确的结论，求极限时对复合函数的中间变量作等价无穷小代换；非等价无穷小和差分别做等价无穷小　如两代换等，应该算对还是错？文在理论上作了分析．这本　关键词　等价；穷小；换；限　无代极中图分类号０１ｌ７　记＊为Ｘ，，＋，，∞，∞之一．ｏ　ｘ∞一ｏ＋　１．求极限时对复合函数的中

3、间变量作等价无穷小代换的可行性　定理１设，“　（）当　一０时为无穷小，　）ａ　）当一＊时为无穷小，厂“　（，（　若（）～　，（　—　Ｏ，（）　　）～口　）（　＊）贝　Ｆ（）（，ｚ—，０，ｘ］～　［（］（一＊）ｆ８ａ　），　．　证明　因为　（一　＊）　．一　・　・　｝　所以ｆＰ　Ｅ（～ｆ　）＇Ｅ］　对无穷小Ｉ（＋ｓｎ）（ｎ１ｉｘ，ｚ—Ｏ，范的代换是Ｉ（＋ｓｘ）规ｎ１ｉ）～ｓｘ，ｎｉ（ｎ　一０，不少学生的代　）但换是ｌ（＋ｓｘ～Ｉ（＋ｚ，ｚ—ｏ．ｎ１ｉ）ｎ１）（ｎ）因为在极限中定理１的条件一般满足，样做

4、可以算正确．这　ｍ　再举一例：ｊ求　一ｌ　ｉ—ｊ　　ｉｊ【一．范解：　一ｌｍ　ｎｌ一ｌ—Ｚ—ｎ１　ｓ　　规—ＳＺ　　　　厶厶规解　ｌｎｉｌ儿；范：—　壶不Ｉ　ｍ一　０　　９—０　—０　ｎ　ｌｍｉ—。　兰　一ｉ—ｌａｒ　一ｉｌ—ｍ　一．　　２．两非等价无穷小和差分别做等价无穷小代换的可行性　定理２设ｆｘ，（）ａｚ，　　）　一＊时为无穷小，当ｚ一＊时Ｊ（）　ｌ）　ｚ，（）ａ（当（若９ｚ～卢　）（　ｌ（呐　）～口　）且ｌ（，ｉｍ　一’　Ｚ　一Ａ≠干１则卢（±ａ（～卢　）ａｚ，，ｌ　）１　）（±（）（　一＊

5、）．　证　明毫　：ｉｌ一ａｒ．　，一一，成．　　论立结　，用洛必塔法则得Ｊ１ｚ出错的原因是当　一　再ｚ＝／，对极限　＝ｌｅｓ—－Ｔ—一１用三次洛必塔法则得正确的结果是Ｊｉ＊ｉｘ・ｘ（￣）ｍ——ｎ，ｘ　一１３若分子分别　／，用等价无穷小代换得　。＝　兰　＿二０时分子的　ｓｘ与ｚ（ｉｎ　＋１等价．）　对极限Ｉ３一ｌｉｍ　一０　ｌ（ｎ１＋Ｘ＋Ｘ）＋ｌ（。ｎ１一ｚ＋　。　）Ｓｅｃ　—ｒｃｏＳ’　　，利用对数函数性质并化简得正确的结果是　Ｊ一ｌ　粤。ｉｍ　０　ｌ—Ｃ　０Ｓ一１ｉｍ掣ｏ　ｓｌ　ｎ一１若分别价小代

6、　一ｌ　，分子用等无穷换得。ｉｍ０　兰　笠－　＝二上一ＣＳＺ　０。一２出错的原因是ｌ　，ｉｍ一０ｎ上一　Ｉ　！　Ｚ十Ｚ　一一１定理２的条件不满足．下转５，（８页）　＊收稿ｌ期：０８—０—１　ｅｔ２０３７维普资讯http://www.cqvip.com５　８高等数学研究　２０年９月０８　式，从而（开“面像”的定义不谈）可使关于ｒ的条件由“撇球连续可微”弱化为“可微”其推导过程　．如下：　在区间［，］上对函数，ｓＯＬ（）一Ａｓ＋Ｅ（）ｘ（）ｙｓ＋　（）ｓ使用罗尔定理，则存在ｓ（，，　∈０Ｌ）使　得Ａｍ（

7、１＋Ｂ　ｓ）　ｓ）ｙ（１＋　（　）一０．　可见，妙运用罗尔定理，简化此题证明过程的同时，减弱了条件．如文［１指出：巧在还正１所熟　悉罗尔定理，强化运用罗尔定理的解题意识是重要的．　评注　该题目曾用于我院数学类专业２００６级（个班）三学期《三第数学分析》堂教学．课在课　堂上给出题目（不作提示）让学生当堂练习、，讨论约２Ｏ分钟，未有学生找到正确解法．们要求　但我学生课后继续练习．半周后课堂检查发现，学生在课下得到了一些有一定创意而远非成熟的证明思　路，人能够完成证明．无可见此题目难度较大，并且对学生创造

8、性思维的训练有较好的作用．　参考文献　［３冬保．悉、用罗尔定理，高解题能力——从２０年的一道考研试题说起［］高等数学研究，０７　１龚熟运提０７Ｊ．２０，１（）６０５：３—６　４［］波利亚，．贵．学分析中的问题和定理（二卷）Ｍ］上海：海科学技术出版社，９５２０及４ｉ２Ｇ．Ｇ舍数第［．上１８．０７．　（接５页）上６　只要定理２的条件满足，两无穷小的差分别做代换是可行的，极限Ｉ对　＝　解法是Ｌ：ｌ￣２＇ｓ－１一ｌｉ一ｔｒｉｍＣ　ｅ　－ｎａ　ｒｎ　＇ｉｍａｏｒ　ｇＩｎ　上十Ｘ