用等价无穷小代换求极限的两个误区

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1、万方数据V01．12．No．5高等数学研究Sep．，2009STUDIESINCOl。LEGEMATHEMATICS17用等价无穷小代换求极限的两个误区‘赵琼(湖北经济学院统计与应用数学系武汉430205)摘要普遍认为利用等价无穷小代换求代数和及复合函数的极限时常常隐藏着两个误区，通过对其进行探讨可以发现．只要加以适当的条件，代数和各部分为无穷小量以及复合函数的中间变量为无穷小量时，对这些部分是可以进行等价无穷小代换的．关键词无穷小；等价I极限}误区．中圈分类号0171函数极限是高等数学中的一个内容，也是教学中的重难点·求已知函数的极限，是学习高等数学必须掌握的基本技能之一．其中

2、，等价无穷小代换的方法因其可以化繁为简，变难为易的优越性而倍受青睐．然而，此方法并非万能，它的使用是有条件的，稍不注意就会出现计算错误．本文结合具体实例，对计算时常见的两个误区做了一些探析．误区一代数和(或差)的各部分无穷小不能分别做代换引理1Ⅲ在同一变化过程中，差：lirna—o，limfl—o，‘￡～以7，卢～∥，1日lim争存在，则有lira—lim；．·引理2c13无穷小的等价关系具有下列性质：(1)自反性：口～口；(2)对称性：若口～p，则卢～口；(3)传递性：若口～卢，p～y，则口～只定理l在同一变化过程中，若：lirna—o，lin堆一o，口～n7，卢～∥，．O．1

3、im暑2是≠千1，则ma±印～mot7士带7，其中m，n，矗为常数，且m，”非零．证明则Elim万mot一愚≠一1的情形．因为口～口7，卢～∥，由引理1可知：lim万ma—lim丐n／：t一志≠一l，，lHlim搿=1im荔。1h薪训m常_l，行口’。，l口’n口"口’。一所以抛+硝～ma7+印7．若是lim箸一志=一1，则抛’～一印7，由引理2中无穷小等价关系的传递性，撇7～抛～一印’～一，毋．·收稿日期12009—0l一13，修改日期t2009—05—19．万方数据18高等数学研究2009年9月从而不一定有lim塑L}要一l，即瑚+印～抛7+印7不一定成立．事实上，通过后续知

4、识点洛必ma十喇’。达法则的学习，此极限的结果可能是多种情况．类似可证lim箸≠1时撇一带～ma7一币7．文献[3]中只讨论了m2咒一l的情形，该定理作了进一步推广．当z一0时常见的等价无穷小有：sinxz，ta眦～z，1一c。sz～虿x2，In(1+z)～z，e。一1～z．例1求极限lim—tan_xj---smx．t-．OSln。Z．Z错解当z一0时，sinx～z，tanx～x，故璺篝赢芦一骧曷一0·p·oSIn’=Z0啼okZZJ。错误解析当z一0时，siM～z，tanx～z，此时lim三一1，定理1的条件不满足，故分子中差的各部分不能直接代换．事实上，学了泰勒公式便可知道

5、，这种代换不成立的原因是由高阶项省略的差异引起．正确解当z÷0时，sin2x～2x，taruz—sinx—tanx(1一cosx)～去z?，故．．tanz—sinz，．虿1z3】罂—五矿一罂—(2x—)3一一16‘例2求极限lim—3ta—nxI--百2一sinx．解因为lim豢掣一lira芘3x一善≠l，所以z—0ZSlaxt_．OZjCZ1．3tanx一2sinx1．3z一2z1．3z一2x1婴—iSl矿一熘面1X一罂百X。虿。}_．OnZ．Z哥．-0SnZt_．OZ上述例子一方面表明在求关不定式中分子或分母整体做等价无穷小代换的便利，另一方面也说明在差(或和)中对其部分做等

6、价无穷小代换并非绝对不可，只要注意定理的条件是否满足．误区二复合函数的中间变量不能做等价无穷小代换定理2[33设口(z)，fl(x)为z—z。(或z一∞)时的无穷小量，n(z)～J9(z)，而，(“)为当“一0时的无穷小量，且有，(“)～“，则当z一，XO(或z—oo)时，f(fl(x))～，(口(z))．证明以下只证z—X。的情形，X一，∞可类似证得．因为lima(x)一limfl(x)一0，利用引理2中无穷小等价关系的传递性得，f(fl(x))～fl(x)～a(z)～厂(口(z))．这种方法与文献[3]中的证法相比，更为简捷和直观．例3求lim—In·(17+_si弋nx-)

7、．解法一因为当X一0时ln(1+z)～z，所以ln(1+sinx)～sinx，从而1．1n(1+sinx)，．sinx1熘1忑丽—广一粤7—1。(下转-蔫21nxslrlx页)工一oslnLslJr·o、I’竹甲J．1’万方数据第J2卷第5期彭娟．郭夕敬：分段函数在分段点处的导数21／+(o)一lim(一)7一lim3x2—0，／一(o)一lim(z2)7一lim2x一0，t_．0十z一·0+f—·O—j÷，0一所以，f’(O)一0。但是，值得注意的是，在定理2中若去掉左连续(或