等价无穷小代换在求极限中的常见应用及推广

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1、万方数据第30卷第5期成都师范学院学报2014年5月Vd．30JOURNALOFCHENGDUNORMALUNIVERSITYMay．2014等价无穷小代换在求极限中的常见应用及推广陈大桥(成宁职业技术学院机电工程系，湖北成宁437100)+摘要：无穷小量是极限中的一个重要概念。在求极限过程中，等价无穷小代换方法是常用的方法之一，正确使用等价无穷小代换在很多情况下可以大大简化极限运算。首先介绍了等价无穷小的常见应用，并扩展了常见应用的内容，然后对等价无穷小代换应用作了推广。关键词：等价无穷小；极限：推广doi：10．3969／j．issn．2095—5642．2014．05．117中图分类号：

2、0172文献标志码：A文章编号：2095-5642(2014)05旬117旬3一、引言等价无穷小是高等数学的一个重要概念。等价无穷小代换的基本方法是在求极限过程中，用与其等价的无穷小来替换某些无穷小量因子，以达到简化运算的目的。目前，利用等价无穷小代换求极限的方法，许多文献都在使用范围和条件等方面进行了较深入的探讨，得出了很多有用的结论。如文献[2]给出了两个无穷小之差的等价代换条件，文献[3]给出了对复合函数的中间变量作等价无穷小代换的条件等等。但在实际应用中，我们最关注的是常用的等价无穷小以及等价无穷小代换求极限的一些重要方法，因此，有必要对常用的等价无穷小加以介绍，并对一些重要的等价无穷

3、小代换方法加以推广。二、常用的等价无穷小及推广在极限运算中，最常用的等价无穷小主要有以下几个：当石-+o时1一COSX～等，In(1+石)一茗，sinx～戈，tanx一茗，菇～arcsinx，茗一arctanx，ez—l一茗，新—丐一1～羔等。[1】以上等价无穷小量我们不仅要牢记，而且对其中的一些微小变化后的等价无穷小也要能灵活运用。如由In(1+菇)～菇可得In(1+戈s)～X3，由新F万一1一羔可得√r丽一1～坐等。另外，利用泰勒公式我们还可以得出如下一些等价无穷小：当石_+0时，-一c。战一手—．蠡4，Inct+石，一戈—．等2，si似一戈—一詈，ta似一戈～孚，arcsi似一戈。菩，e

4、5一。21一石一等等。灵活运用这些等价无穷小量，我们可以快速求解很多复杂的极限问题。(1一cos并一-“4-)(矿一1一菇)例1姆——丽焉ir解：因为当戈_+0时，一c。麟一手—．缶4，arcsinx--X．詈，e。一-一菇～等21一co麟一虿—。西，a。百，e一1一菇～虿掌收稿日期：2013一10-31作者简介：陈大桥(19r79一)，男，湖北黄陂人，讲师，研究方向：应用数学。117万方数据成都师范学院学报2014年5月于是茹4戈2=l，i川ra型4≠一÷。z-_O石。石石。百n三、等价无穷小代换应用推广在求两个无穷小之比的极限时，初学者可能会犯如下错误，例如求lira．·arcsinx-t

5、anx时，若用菇～#—加S1fixarcsi眦，ta似。戈进行等价无穷小代换，则lim，arcsinx．-tanx=lira．鼍；兰=0，这显然不正确。⋯那么怎样才枷S1nx枷Slnx能正确代换呢?下面对等价无穷小代换的应用作推广。在以下推广中，结论对各种取极限过程都成立。因此，我们省略了取极限的过程。推广1设0c(茗)、／3(x)、a’(戈)、卢’(菇)，y(石)，y’(戈)(均不为0)都是同一变化过程中的无穷小量，且出)“㈤，／3(x)叫㈤州髫)叫㈤若lim黔=

6、

7、}≠干l测有lim巡薯俨=[垡：(兰)圭垦：(苎)坯生[，3y’(茗)。该推广在许多文献中都有介绍，故不加以证明，但它在等价无

8、穷小求极限的应用中是十分重要的，它的结论告诉我们，当分子或分母为某个无穷小量因子和其它因式的代数和时，也是可以进行无穷小代换的，正确运用上述定理能使计算过程大大简化。【41例2求li碘芷2二L塑冀蛐解：因为当石-+0时tan2x_石2，arcsip_x4～菇4，In(1+石2)～茄2，∥一1～5x2且姆嚣2蚤2了1≠l，于是有lira。鱼竺二上二塑卓霉学蛐：li婴堕￡掣：4。删arctarⅨ删戈推广2设a=d(菇)、p=卢(石)均为自变量同一变化过程中的无穷小．，且卢是比a高阶的无穷小量，即．

9、B=D(a)，则有理±卢～俚0‘51证明：因为届：o(口)，于是有lim昼：0，lim山：1，即a±

10、卢一a。推广2告诉我们，在求无穷小代数和极限时，可以将阶数较高的无穷小量忽略舍弃，以达到简化计算的目的。在很多复杂的极限中，这一方法效果非常显著。例3求lira堕堕警盖当哗掣解：因为当菇-÷0时，arctan2戈～茗2，In(1+菇3)一戈3于是arctan2戈，In(1+X3)是比3x高阶的无穷小量又sin3髫一3菇，1一c。蹦～等于是1一co蹦是比sin3x高阶的无穷小量，由定理有姆堑±型学雪