等价无穷小在求函数极限中的应用及推广

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1、等价无穷小在求函数极限中的应用及推广作者：马志指导老师：张海摘要利用等价无穷小作代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法，围绕无穷小之比、变上限积分的极限、幂指函数和Taylor公式，利用等价无穷小代换思想进行分析应用，以此达到极限求解中化繁为简、化难为易得目的。在求极限过称中，用等价无穷小代替，起到了一种化繁为间的作用，在函数中也能使用等价无穷小前言设f在某内有定义，若则称f为当时的无穷小量设当时，f于g均为无穷小量若则称f于g是当时的等价无穷小量。记作一、等价无穷小在求函数极限中的应用1求函数的极限技巧很强，可利用无穷小等价的关系，简化了求某些型的极

2、限的计算引理设函数（x），（x）满足下列条件：在a的某个去心邻域内均有非零导数（1）Limf（x）=0，；（2）则，第13页（共13页）（3）当f（x），>0时,=1证明由洛比塔法则;;=,证毕定理1设函数f(x),g(x)及,满足下列条件:（1）在a的某去心邻域内均有导数（2）在xa时,均为无穷小量,,,于是;(1)若(2)若f(x),>0，且,则证明由引理(1)故(2)故第13页（共13页）如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量,则在求某些型的极限时将很方便.如时,等,均为无穷小量,且例1求下列函数的极限(1)解(1)原式=(2)原式=(3)原式

3、=（4）原式=（5）原式=例2求下列函数的极限第13页（共13页）解（1）原式=（其中，）（2）原式=（3）原式=（4）原式=（5）原式=（6）原式=（其中）所谓等价无穷小，是指在同种变化趋势下，和都是无穷小，且0，如果，那么和是等价无穷小，记。这意味着在这一极限过程中，和趋近于零的速度基本相同。例如因为，，所以当时，都是等价无穷小，即。常见的等价形式有：时，,2对不定式极限型的计算定理2若在同一极限过程中，a，b是无穷小且则第13页（共13页）该定理表明，对型未定式可以施行等价无穷小替换来计算极限。但是这种替换只限于整个分子（分母）及其乘积因子，当分子或

4、分母为代数和时，对其中的项却不能随意作等价无穷小替换。例如：求极限时，sinx~x，tanx~x对原式作无穷小替换将导致错误的结果：原式=（正确结果为）例3因为当时解原式==例4解使用等价无穷小，当时上式=例5求解它是型，按以前的求极限方法，它是不能用等价无穷小来代替，用洛必达法则计算第13页（共13页）原式=很显然，这个题目直接用洛比达法则求解太繁，我们考虑函数中使用等价无穷小进行化简。注意到：当时，有原极限=可见，对一些无法直接使用等价无穷小的极限式直接使用洛比达法则，会造成计算量大而且通过对函数式的构造变换，再使用等价无穷小，就很容易求得答案了。3数

5、列极限的若干计算法（1）极限的四则运算法则若{}与{}为收敛数列，则{}，{}，{}也都是收敛数列，其有例6求解由得（2）利用重要极限求数列的极限第13页（共13页）两个重极限分别为例7求解（3）单调有界数列法这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为:(1)判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A。（2）建立数列相邻两项之间的关系式。（3）在关系式两端取极限，得以关于A的方程，若能解出A，问题得解。例8求数列其中（a>0）极限解:设，…则{}是单调有界数列，它必有极限，设其极限为A在两边取极限得即所以，因为A>0所以即（4）利用定积分

6、计算计算项数无限增多的无穷小量之和，有时可设法把问题化为某一函数在某一区间上的积分和的极限问题，从而利用定积分求解。有时问题呈现乘积的形式，也可试用本方法，只式要先取对数将问题转化为和的形式。例9计算解、第13页（共13页）先考虑，从而有因此（5）变上限积分的极限常用的变上限积分的等价无穷小有：其中上述等式可以用洛比塔法则直接证明，证明中我们可以看到被积函数之间是等价无穷小，由此可得将被积函数用等价无穷小代换后的变上限积分仍是等价无穷小，即是:定理3若当存在，，则。证明：由此定理还可以得出如下结论，例如：例10求第13页（共13页）解原式=例11求解原式=

7、（6）幂指数数激增和Taylor公式使用定理4设，且证明例12求解因为，当时，有，所以原式=例13求解：第13页（共13页）因此，原式=综上所述，我们看到等价无穷小的应用非常广泛，但还是要具体情况具体分析，同时结合洛比达法则，选择合理恰当的方法进行求解二、等价无穷小在求函数极限过程中的推广定理5若在同一极限过程中，有等价无穷小则当时，（存在或为无穷大）当时，（存在或为无穷大）证明仅证（1），同理可证（2）因得。又因第13页（共13页）得再由定理，可知（存在或为无穷大）例14解因时，且故由定理有原式==例15解因时，故由定理有原式=定理6若在同一极限过程中，

8、有等价无穷小，则（存在或为无穷大）第13页（共13页）证明定理3若