等价无穷小在求函数极限中的应用

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1、等价无穷小在求函数极限中的应用XX(XX学院XX学院山西XX)摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误．关键词：等价无穷小；替换；极限1引言在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷

2、小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解．2等价无穷小的定义及性质定义1　如果函数当(或)时的极限为零，那么称函数为当(或)时的无穷小．定义2　设与都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且，如果，就说与是等价无穷小，记作．常用的等价无穷小：当时，，，，，，，，．关于等价无穷小，有三个重要性质：性质1　与是等价无穷小的充分必要条件为．性质2　设，，且存在，则．性质3，．3等价无穷小在求函数极限中的应用3.1含四则运算的等价无穷小替换定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．例1　

3、求极限．解　当时，，，，因此＝＝．例2求极限．解＝．注意时，．用到了性质3．利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无穷小替换作一些补充．性质4　设，，且，若，则；若，则．证明　若，，因为，所以，又由定理2，，所以，即．同理，若，，即．定理3说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要这两个无穷小不等价，这个

4、因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换．推论　设，，，，且，，，，，为常数，则当存在时，有．例3　求极限．解　当时，，，，所以．例4　求极限．解　当时，，，，，所以．例5　求极限．解　因为当时，，，，且，所以．注　当与等价，则未必有．以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定条件即可．3.2含变上限积分函数的等价无穷小替换性质5设，为时的无穷小量，，且与在上连续，则有．证明　因为，所以．利用定理4，在求解有关积分上限函数的极限时可简化很多步骤．注　当时，常用的变上限积分的等价无穷小有，，．例6　求极限解　由于当时，，，．性质6　若，与在上连续，则．　　证明　．

5、例7求极限．　　解　因为，，所以当时，，，所以．3.3　幂指函数的等价无穷小替换　　对于型函数求极限，当满足一定条件时，可以根据以下定理求解．　　性质7　在自变量同一变化过程中，均为无穷小量，若，且，则．　　证明　．例8求极限．　　解　当时，，，所以．　　例9求极限．　　解　，当时，，，所以．　　在求解型的幂指函数的极限时，运用这个定理可减少计算量，起到简化的作用．但并不是所有的型极限都要化为的形式来求极限．3.4利用泰勒公式构造等价无穷小来求极限在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的，这里补充一些新的等价无穷小，同时开辟一条新途径把不能用等价无穷小替换的加减运算问题，通过恒等变形的方法

6、直接转化为能用等价无穷小替换，把利用等价无穷小求极限的方法大大推进一步．事实上利用泰勒公式就可以构造出一系列新的等价无穷小．例如求的等价无穷小，由于…，从而有…，于是得到．同理，当时，用泰勒公式可得：，，，，，，，．有了上述的等价无穷小，我们就可以通过恒等变形的方法，把不能用等价无穷小替换的加减运算问题转化为能用等价无穷小替换，这种技巧的理论依据如下：①若，都存在且有限，则也存在且有限．②若存在，但不存在，则也不存在．例10求极限．解　当时，，，，所以．例11　求极限．解　当时，，，所以．4用等价无穷小求极限时应注意的问题4.1　和其他方法结合运用在很多题目中，往往需要综合运用等价无穷小、

7、洛必达法则、重要极限和泰勒公式等相关知识才能达到简化运算的目的．例12　求极限．解　．例13　求极限．解　．例14　求极限．解　由于函数的分母中，因此只需将函数分子中的与分母中的和分别用佩亚诺余项的麦克劳林公式表示，即：，，，所以．4.2等价无穷小求极限的误区在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．在利用等价无穷小求极限时往往容易出错，究其原因，是弄不清楚替换的原理及对象