浅议等价无穷小在求复合函数极限中应用

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1、浅议等价无穷小在求复合函数极限中应用摘要用等价无穷小量做代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法，本文针对等价无穷小在求复合函数极限中是否可以代换的问题给出了一些充分条件，并给了一则反例。关键词复合函数等价无穷小代换反例中图分类号：0171文献标识码：AOntheApplicationofEquivalentInfinitesimalLimitinSeekingtheCompositeFunctionSONGJuan(SuzhouUniversityofScienceandTechnology,Suzhou,Jian

2、gsu215009)AbstractEquivalenceInfinitesimaldosubstitutionisamethodofcalculatingthelimitofcommon,convenientandeffectivemethod,aimingatseekingequivalentinfinitesimalcompositefunctionlimitsthequestionwhetheryoucansubstitutesomesufficientconditionsaregiven,andgaveath

3、ecounter-example・Keywordscompositefunction；equivalentinfinitesimallimit；substitution；counter-example关于极限的理论与计算是高等数学的重要内容之一。在高等数学的学习中，极限的计算，特别是在未定式的计算中,无穷小是一个重要的概念。但在刚开始学习的时候，不少学生对于无穷小的认识比较模糊，有些甚至是错误的，特别对于等价无穷小在极限运算尤其是复合函数求极限过程中是否可以替换存在疑惑。本文对等价无穷小在求复合函数极限中的应用做了一定

4、程度的探讨。我们从学生所做的一道题目开始分析：引例求解：二二二1这里先进行了等价无穷小代换①②：〜，〜，再用洛必达法则对分子分母分别求导，问这种解法对否？事实上，一般地，若〜，〜，且，存在不为0,则二二证明：同理可证=1,故有==lo而上题显然符合此条件，故这种做法是可行的，虽然学生也许并未认识到其中的理论依据。下面给出一条定理，强调等价无穷小在复合函数式中的替换所需满足的条件。定理③设，为（或）时的两个无穷小，且〜，而为时的无穷小量，且有〜，则当（或）时，〜。证明：当时，因为==0,利用等价无穷小的传递性得〜〜〜；当

5、时，因为=0,利用等价无穷小的传递性得〜〜〜。需要注意的是，对无穷小，（）规范的替换是〜（），但也可以做这样的替换：〜（）只是因为计算式中以上定理的条件一般均满足，这样做在计算结果上是正确的，并且这种替换也可以用等价无穷小的传递性来解释。例1求。解：（规范解）当（）时，有〜，〜，所以从而二二1。另解：（不规范解）===lo不规范解从结论上正确的原因是由于〜〜〜，〜〜〜,故以上第二种解法也是正确的。例2求。解：（规范解）另解：（不规范解）二不规范解从结论上正确的原因是由于/〜〜故以上结果正确。然而，在一般情形下，对于复合

6、函数的中间变量，不能随意用等价无穷小代换。下面给出一则反例：设，=,当时，显然有〜，〜，且=0,=0,而且二1,但是不存在。事实上，因为，当为充分小的有理数时：(1)若均为无理数，由于当时，(且充分小)，，且与一一对应，所以集合={,是有理数，}的基数为，从而的基数为，④故当取中的无理数时，必定既可为有理数又可为无理数，所以既可为，又可为，或者既可为，又可为，再由无理数在任一区间内的稠密性，即知不存在。(2)若既可为无理数，又可为有理数，则既可为，又可为，由有理数在任一区间内的稠密性，同样可知不存在。(3)若均为有理数

7、，这种情形是不可能的。综上所述，不存在。利用等价无穷小替换可使计算极限时化繁为简，变难为易，但在极限式特别是复合函数极限式的计算过程中，并不是所有的无穷小都可以用它们各自的等价无穷小替换，这种替换是有条件的，稍不注意就会出现计算错误。因此，在使用等价无穷小代换时，应做到有理有据。注释①同济大学数学系编•高等数学•上册[M].北京：高等教育出版社，2007.4.①华东师范大学数学系编•数学分析•上册[M].北京：高等教育出版社，2001.6.②陈新明.用等价无穷小代换求极限中的一些问题[J].高等数学研究，2008(5)

8、.③刘文•与的无理性•数学通报，1963.8.