高中数学第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1.2数学归纳法应用举例导学案新人教B版.docx

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1、3.1.2　数学归纳法应用举例1.进一步理解数学归纳法原理.2.会用数学归纳法证明整除问题以及平面几何中的有关问题.知识点1　用数学归纳法证明整除性问题【例1】已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，当n∈N*时，an＋2＝an＋1＋an，求证：数列{an}的第4m＋1项(m∈N*)能被3整除.证明　(1)当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除.(2)假设当m＝k时，a4k＋

2、1能被3整除，则当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.显然，3a4k＋2能被3整除，又由假定知a4k＋1能被3整除.∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除.即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除.由(1)和(2)知，对于n∈N*，数列{an}中的第4m＋1项能被3整除.●反思感悟：本题若从递推式入手，设法求出通项公式，会相当困难.这时，可转向用数学归纳法证明.1.用

3、数学归纳法证明：(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除.证明　(1)当n＝1时，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2－1＝x2＋3x＋3，显然命题成立.(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，则当n＝k＋1时，(x＋1)k＋2＋(x＋2)2k＋1＝(x＋1)k＋2＋(x＋1)(x＋2)2k－1＋(x＋2)2k＋1－(x＋1)(x＋2)2k－19＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x＋2)2k－1(

4、x2＋3x＋3).由假设可知上式可被x2＋3x＋3整除，即n＝k＋1时命题成立.由(1)(2)可知原命题成立.知识点2　探索问题【例2】若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论.解　取n＝1，＋＋＝，令>⇒a<26，而a∈N*，∴取a＝25.下面用数学归纳法证明：＋＋…＋>.(1)n＝1时，已证结论正确.(2)假设n＝k(k∈N*)时，＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，有＋＋…＋＋＋＋＝＋>＋.∵＋＝>，∴＋－>0.∴＋＋…＋>.即n＝k＋1时，结论也成立.由(1)(2)

5、可知，对一切n∈N*，都有＋＋…＋>.故a的最大值为25.●反思感悟：探索性问题一般从考查特例入手，归纳出一般结论，然后用数学归纳法证明，体现了从特殊到一般的数学思想.92.已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在正整数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)？如果存在，求出m最大的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.解　f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360猜想：能整除f(n)的最大整数是36.证明如下：用数学归纳法.(1)当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，

6、能被36整除.(2)假设n＝k(k≥1)时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除.则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1).由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数.∴18(3k－1－1)能被36整除.∴当n＝k＋1时，f(n)能被36整除.由(1)(2)可知，对任意n∈N*，f(n)能被36整除.知识点3　用数学归纳法证明几何问题【例3】平面上有n个圆，每两圆交于两点，每

7、三圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2－n＋2个部分.证明　(1)当n＝1时，n2－n＋2＝1－1＋2＝2，而一圆把平面分成两部分，所以n＝1命题成立.(2)设n＝k时，k个圆分平面为k2－k＋2个部分，则n＝k＋1时，第k＋1个圆与前k个圆有2k个交点，这2k个交点分第k＋1个圆为2k段，每一段都将原来所在的平面一分为二，故增加了2k个平面块，共有：(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分.∴对n＝k＋1也成立.9由(1)(2)可知，这n个圆分割平面为n2－n＋2个部分.●反思感悟

8、：如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第(k＋1)个圆与其他k个圆的交点个数问题，通常要结合图形分析.3.证明：凸n边形的对角线的条数f(n)＝n(n－3)(n≥4).证明　(1)n＝4时，f(4)＝×4×(4－3)＝2，四边形有两条对角线，命题成立.(2)假设n＝k(k≥4)时命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)＝k(k－3).当n＝k＋1时，凸k＋1边形是在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点Ak＋1，