高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3_2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式学案 新人教b版选修4-5

《高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3_2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式学案 新人教b版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式[读教材·填要点]贝努利(Bernoulli)不等式设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n>1＋nx.[小问题·大思维]在贝努利不等式中，指数n可以取任意实数吗？提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．事实上：当把正整数n改成实数α后，将有以下几种情况出现：(1)当α是实数，并且满足α>1或者α<0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)．(2)当α是实数，并且满足0<α<1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)．利用数学归纳法证明不等式[例1]　求证：＋＋＋…＋>1(n≥2，n∈N＋)．[思路点拨]　本题考查数学归纳

2、法的应用，解答本题需要注意n的取值范围，因为n≥2，n∈N＋，因此应验证n0＝2时不等式成立．[精解详析]　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＝>1.∴n＝2时不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N)时，不等式成立，即＋＋＋…＋>1，那么n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋＋非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。＝＋＋…＋＋－>1＋－＝1＋，∵k≥2，∴2≥.∴k2－k－1＝2－≥1>0.∴>0.∴＋＋…＋>1.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)、(2)可知，对一

3、切的n≥2，且n∈N＋，此不等式都成立．利用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形，为满足题目的要求，往往要采用“放缩”等手段，例如在本题中采用了“>，…，>”的放缩变形．1．证明不等式：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即1＋＋＋…＋<2.∵当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2＋＝，现在只需证明<2，非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。即证：2<2k＋1，

4、两边平方，整理：0<1，显然成立．∴<2成立．即1＋＋＋…＋＋<2成立．∴当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对于任何正整数n原不等式都成立.利用数学归纳法比较大小[例2]　设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明．[思路点拨]　本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特值，猜想Pn与Qn的大小关系，然后利用数学归纳法证明．[精解详析]　(1)当n＝1,2时，Pn＝Qn.(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn>Qn.②若x＝0，则Pn＝Qn.③若x∈(－1,0)，则P3

5、－Q3＝x3<0，所以P3

6、数学归纳法证明结论成立．(2)本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化，变量x也影响Pn与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用．2．已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x∈R，满足条件：b1＝b，an＝f(bn)＝g(bn＋1)(n∈N＋)．若函数y＝f(x)为R上的增函数，g(x)＝f－1(x)，b＝1，f(1)<1，证明：对任意n∈N＋，an＋1

7、)当n＝1时，由f(x)为增函数，且f(1)<1，得a1＝f(b1)＝f(1)<1，b2＝f(a1)