高中数学第三章数学归纳法与贝努利不等式3.2用数学归纳法证明不等式贝努利不等式导学案.docx

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1、3.2　用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1　用数学归纳法证明不等式3.2.2　用数学归纳法证明贝努利不等式1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式，特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式.2.了解贝努利不等式，学会贝努利不等式的简单应用.3.会用数学归纳法证明贝努利不等式.自学导引1.贝努利不等式：设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n>1＋nx.2.设α为有理数，x>－1，如果0<α<1，则(1＋x)α≤1＋αx；如果α<0或者α>1，则(1＋x)α≥1＋αx，当且仅当x＝0时等号成立.基础自测1.若不等式＋＋＋…＋<对于一切n∈N*恒成立，则自

2、然数m的最小值为(　　)A.8B.9C.10D.12解析　显然n＝1时，左边最大为<，∴m的最小值为8，选A.答案　A2.关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是(　　)A.n∈N＋B.n≥4C.n>4D.n＝1或n>4解析　n＝4，24＝42＝16，n＝1时，2>1，n＝5，25＝32，52＝25，∴当n>4时，2n>n2成立，故选D.答案　D123.已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则T与0的关系是________.解析　∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝0，即2ab＋2bc＋2ac＝－(a2＋b2＋c2)<0

3、，∵abc>0，上述不等式两边同时除以2abc，得T＝＋＋<0.答案　T<0知识点1　用数学归纳法证明绝对值不等式【例1】设x1，x2，…，xn为实数，证明：

4、x1＋x2＋…＋xn

5、≤

6、x1

7、＋

8、x2

9、＋…＋

10、xn

11、.证明　(1)∵

12、x1＋x2

13、≤

14、x1

15、＋

16、x2

17、，∴n＝2时命题成立.(2)设命题n＝k(k≥2)时成立，即

18、x1＋x2＋…＋xk

19、≤

20、x1

21、＋

22、x2

23、＋…＋

24、xk

25、，于是，当n＝k＋1时，

26、x1＋x2＋…＋xk＋1

27、＝

28、(x1＋x2＋…＋xk)＋xk＋1

29、≤

30、x1＋x2＋…＋xk

31、＋

32、xk＋1

33、≤

34、x1

35、＋

36、x2

37、＋…＋

38、xk

39、＋

40、xk＋1

41、.即当n＝k＋1时，命题也成

42、立.由(1)(2)知，对于任意n∈N*命题都成立.1.证明不等式

43、sinnθ

44、≤n

45、sinθ

46、(n∈N＋).证明　(1)当n＝1时，上式左边＝

47、sinθ

48、＝右边，不等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即有

49、sinkθ

50、≤k

51、sinθ

52、.当n＝k＋1时，

53、sin(k＋1)θ

54、＝

55、sin(kθ＋θ)

56、＝

57、sinkθcosθ＋coskθ·sinθ

58、≤

59、sinkθcosθ

60、＋

61、coskθ·sinθ

62、≤

63、sinkθ

64、＋

65、sinθ

66、≤k

67、sinθ

68、＋

69、sinθ

70、＝(k＋1)

71、sinθ

72、.12即当n＝k＋1时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立.知识点2　用数学

73、归纳法证明平均值不等式【例2】设a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立.证明　不妨设an≥an－1≥…≥a1>0，若a1＝an，则a1＝a2＝…＝an，此时原不等式中等号成立.设an>a1(n≥2).(1)n＝2时，由基本不等式>，所以命题对n＝2成立.(2)设n＝k时，不等式成立，即≥.记Ak＝，所以有：(Ak)k≥a1a2…ak.当n＝k＋1时，因为ak＋1>a1，ak＋1≥a2，ak＋1≥a3，…，ak＋1≥ak，所以ak＋1－Ak＝＝>0，则有ak＋1>Ak.根据二项式定理及归纳假设得：＝＝＝(Ak)k＋1＋(k＋1)(Ak)k＋…＋>(A

74、k)k＋1＋(Ak)k(ak＋1－Ak)＝(Ak)k＋1＋(Ak)kak＋1－(Ak)k＋1＝(Ak)kak＋1≥a1a2…akak＋1.12即>.由(1)(2)知，对任意的n∈N*命题都成立.●反思感悟：用数学归纳法证明不等式的第二步，设n＝k时命题成立，证n＝k＋1时命题也成立时，往往要通过放缩法来实现n＝k＋1时命题所需要的形式.2.证明：如果n(n为正整数)个正数a1，a2，…，an的乘积a1a2…an＝1，那么它们的和a1＋a2＋…＋an≥n.证明　(1)当n＝1时，a1＝1，命题成立.(2)假设当n＝k时，命题成立.即若k个正数的乘积a1a2…ak＝1，则a1＋a2＋…＋a

75、k≥k.当n＝k＋1时，已知k＋1个正数a1，a2，…，ak，ak＋1满足条件a1a2…ak＋1＝1.若这k＋1个正数a1，a2，…，ak，ak＋1都相等，则它们都是1，其和为k＋1，命题得证.若这k＋1个正数a1，a2，…，ak，ak＋1不全相等，则其中必有大于1的数也有小于1的数(否则与a1a2…ak＋1＝1矛盾).不妨设a1>1，a2<1.为利用归纳假设，我们把乘积a1a2看作一个数，这样就得到k个正数a1a2，a3，…，ak，ak＋1的