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《322用数学归纳法证明贝努利不等式导学案2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.2.2用数学归纳法证明贝努利不等式导学案2知识情景：数学归纳法的应用例1.求证：戶‘>3加，其中m>l,且meN例2已知数列⑺“｝的各项为正，且"1如•（4-6z；）,/?gN*（1）证明v2,"wN[（2）求数列｛%｝的通项公式例3（06湖南）已知函数/«=x-sinx?数列｛色｝满足：0<吗<1卫出=/（色）屮=1,2,3,・・・,乙13证明:（i）0v%5vl；（书％丁〃例4（09山东）等比数列｛%｝的前n项和为S“，已知对任意的N点（仏以）均在函数y=bA+r（b>0且〃工l,b,厂均为常数）的图像
2、上.（1）求r的值；(11)当b=2时，记'一"log?+1)(〃WN)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m乞+1>Jn+成立也+1匕+1证明：对任意的neN+,不等式Sb21、正数a、b^c成等差数列，当n>l,neN*且a、b、c互不相等时，试证明：an+cn>2bn.2、正数a^b、c成等比数列，当n>l，nUN*且a、b、c互不相等时，试证明:an+cn>2bn.111131•>—3、若n为大于1的自然数，求证：”+1斤+22/124.4、i+3（05辽宁）已知函数设数列｛%｝满足q二14曲二/⑺“）,
3、0｝满足仇=
4、an-V3,Sn=勺+筠+…+仇(nwN、bZ"（I）用数学归纳法证明"2"“S”<(II)证明2^/3—I—>—[log.n]<其中n「icc5、（05湖北）己知不等式23«2为大于2的整数，U°g2刃表示不超过1°创"的最大整数.设数列也〃｝的各项为正，且满足①=b（b>0）,心0）的切线仁切点为好
5、（£,儿）（1）求数列与°”｝的通项公式；（2）证明:参考答案:1.关于正整数n的命题（相当于多米诺骨牌）,我们可以釆用下面方法来证明其正确性：10.验证n取第一个值时命题成立（即%时命题成立）（归纳奠基）；20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立（归纳递推）.n30.由10、20知，对于一切。的自然数n命题都成立！（结论）要诀：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.例1.求证：加，其upm>1,且加wAT.分析：此题是2004年广东高考数学试卷第21题的适当变形，有两种证法证法一：用数
6、学归纳法证明.（1）当m=2时，/>24>3x2,不等式成立.（2）假设m=k（kX2,keN）时，有e2k>，则e2a+1）=e2k•e2>3k•e2>6kt••k>2・6k-3伙+1）=3k—3>0即6k>3伙+1）从而严）>6比>3伙+1）,即加=£+1时，亦有严>3加由（1）和（2）知，对加>1，me7V*都成立.证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明.e>2w-3m>(l+l)2w-3m>C鋼+CJ+C二-3建=1+2m+2加(加_1)-3m(m>l=>2m-1>1)2>1+2m+m一3m>0
7、.I当加〉1,且meN："时，e2m>3m例2（2005年江西第21题第（1）小题，本小题满分12分）己知数列S”｝的各项都是正数,且满足：ao=l<”+i=3"”・（4_a”），“eN（1）证明①V£+1V2/WN;（2）求数列｛©｝的通项公式an.分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。解：（1）方法一用数学归纳法证明：I1“、3..為y<2,命题正确.1。当n=l时,=2(%—ak)-丄-绞)(畋_]+畋)=：(仏]一％)(4-ak_{-
8、ak).°0=1卫1=a0)=~^119%+i=牙％（4—绞）=牙［4一（色一2）］<2.又22：n=k^吋命题也正确.由1。、2。知,对一切neN时有陽<<2,方法二：用数学归纳法证明：也即当n二k+1时咳<务+】<2成立，所以对一切neN,有代v@+
9、V211?（2）下面来求数列的通项："严（4一讣尹（。”一2）一+4］,所以2（a“+i一2）=-（an-2）2令by2,则b宀昇W虬*弓G）昭「一护…乜刃一1又—，所/…中2”'即"2+乞亠4产212"~1本题也可先求出第（2）问，即数列⑺“｝的通项公式陽一"
10、,然后利用函数/（a）=2-（-）的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式.但若这样做，则无形当中加大了第（1）问的难度，显然不如用数学归纳法证明来得简捷.例3（06年湖南卷.理.19本小题满分14分）已知函数/⑴=*一sin兀擞列｛色｝满足：0v⑷vI,%二./（勺）,心1,2,3,….13证明：（i）0<%】Sv1；（ii）%<6a,t证明：（I）•先
