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《3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式 同步练习 2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.2用数学归纳法证明贝努利不等式同步练习2例1求证：,n≥2,n∈N.思路分析：本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，不是第k项，应是第2k项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k收尾.根据此分母的特点，在3k后面还有3k+1、3k+2,最后才为3k+3，即3（k+1）.不等式左端增加了,,共三项，而不是只增加一项.证明：（Ⅰ）当n=2时，右边=+++>，不等式成立.（Ⅱ）假设当n=k(k≥2,k∈N)时命题成立，即.则当n=k+1时，=>>.所以当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）
2、可知，原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立.误区警示错误的思维定式认为从n=k到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，所以一定要认清不等式的结构特征.例2已知，Sn=1+++…+,n∈N，用数学归纳法证明：>1+,n≥2,n∈N.思路分析：本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，不等式左端增加了2k项，而不是只增加了这一项，否则证题思路必然受阻.证明：（Ⅰ）当n=2时，=1+++=1+1+，∴命题成立.（Ⅱ）假设当n=k(k≥2,k∈N)时命题成立，即=1+++…+.则当n=k+1时，
3、=1+++…+>1+所以当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n∈N均成立.方法归纳本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由n=k到n=k+1时不等式左端项数的增减情况.知识点二：比较法例3求证：1+++…+≥.思路分析：本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，关键的是证明，为证此，我们采用了不等式证明方法中的比较法.证明：（Ⅰ）当n=1时，左式=1，右式=，左式=右式;当n=2时，左式=1+=,右式==;>,左式>右式.∴当n=1或
4、n=2时，不等式成立.(Ⅱ)假设当n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+++…+.则当n=k+1时，左式=1+++…+.∵>0,∴=右式.由不等式的传递性，可得左式>右式，∴当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）可得，对一切n∈N,不等式都成立.误区警示在用数学归纳法证明不等式的过程中，我们经常因思维定式认为只能做代数变形，比较法是一种综合证明法，不能在数学归纳法中使用，这是一种错误的认识.证明不等式的基本方法在数学归纳法的第二步中都可以使用，究竟选择哪种方法要因具体题目而定.知识点三：放缩法例4证明：
5、，n≥2,n∈N.思路分析：本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，在证明时，使用了均值定理进行放缩.证明：(Ⅰ)当n=2时，左边=，右边=.∴左边<右边，∴n=2时，原不等式成立.(Ⅱ)假设当n=k时，不等式成立，即.当n=k+1时，∴n=k+1时，原不等式成立.由(Ⅰ)(Ⅱ)知对n≥2的任何自然数，原不等式成立.知识点四：转化等价命题例5数列{an}的通项公式为an=3n+2，将数列{an}中的第2,4,8,…,2n项依次取出，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，记其前n项和为Sn,Tn=n(9+an)
6、，当n≥4时，证明Sn>Tn.思路分析：要证Sn>Tn，只需证3×2n+1+2n-6>3n2+11n，即证2n+1>n2+3n+2.这就证明了原不等式的等价不等式，从而将命题简化.证明：∵an=3n+2，∴=3×2n+2，∴Sn=a2+a4+a8+…+a=3(2+4+8+…+2n)+2n=3×2n+1+2n-6.而Tn=n(9+an)=3n2+11n.要证Sn>Tn，只需证3×2n+1+2n-6>3n2+11n，即证2n+1>n2+3n+2.用数学归纳法来证明：(Ⅰ)当n=4时，S4=98,T4=92,S4>
7、T4成立.(Ⅱ)假设当n=k(k≥4)时，结论成立，就是2k+1>k2+3k+2，那么2k+2-［(k+1)2+3(k+1)+2］>2(k2+3k+2)-(k2+5k+6)=k2+k-2=(k+2)(k-1).∵k≥4,∴(k+2)(k-1)>0.∴2k+2>(k+1)2+3(k+1)+2.这就是说，当n=k+1时，Sn>Tn也成立.由(Ⅰ)(Ⅱ)知，对n≥4,Sn>Tn都成立.方法归纳本题用数学归纳法证明2n+1>n2+3n+2，第二步采用的是作差比较法：作差——利用归纳假设——变形（因式分解）——定号.这
8、比通常的“作差——变形——定号”多了利用归纳假设这一步，这是因为归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的.巧解提示也可不用数学归纳法来证明2n+1>n2+3n+2(n≥4)，而是利用二项展开式和放缩法直接证得.当n≥4时，2n+1=2·2n=2(1+1)n=2()≥2()=n2+3n+4>n2+3n+2.知识点五：单调性例6已知数列{an}中，所有项都是正数，且an+1≤an-a2n，求证：an<.
