3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式 课件 2

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1、3.2.2用数学归纳法证明贝努利不等式教学目标知识与能力会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式).过程与方法通过例题的学习，能够证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式).情感态度与价值观培养学生严密的逻辑思维能力和严谨的态度.教学重难点重点难点会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努利不等式).灵活运用数学归纳法.例1观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论.{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…;{bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…分析由数列的前几项猜想，从第5项起，an

2、，用数学归纳法证明上述猜想时，第(1)步应该证明n=5的情形.证明(1)当n=5时，52<25，命题成立.(2)假设n=k(k≥5)时，命题成立，即k2<2k.当n=k+1时，因为(k+1)2=k2+2k+1

3、kθ│≤k│sinθ│由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立.当n=k+1时，│sin(k+1)θ│=│sinkθcosθ+coskθsinθ│≤│sinkθcosθ│+│coskθsinθ│=│sinkθ││cosθ│+│coskθ││sinθ│≤k│sinθ│+│sinθ│=(k+1)│sinθ│例3证明贝努利不等式：如果x是实数，且x>-1,x0,n为大于1的自然数，那么有(1+x)n>1+nx分析贝努利不等式中涉及两个字母，x表示大于-1且不等于0的任意实数,n是大于1的自然数，我们用数学归纳法只能对n进行归纳.证明(1)当n=2时，由x≠0得(1+x)2>1+2x,不等式成立

4、.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立，即有(1+x)k>1+kx.当n=k+1时，（1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx）>1+(k+1)x所以当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知，贝努利不等式成立.例4证明：如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an的乘积a1,a2,…,an，那么它们的和a1+a2…+an=1.在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x)n缩小为简单的1+nx的形式.这在数值估计和放缩法证明不等式中可以发挥作用.事实上，贝努利不等式的一般形式是：当a是实数，并且满足a>1或者a<0时，有(1+x)a≥1+ax(x>-1)

5、;当a是实数，并且满足a>1或者0-1).分析这是与正整数密切相关的不等式，它的形式简洁和谐.用数学归纳法证明它时，应注意利用n个正数的乘积为1的条件，并对什么时归纳假设和由它要递推的目标心中有数.证明(1)当n=1时，有a1=1，命题成立.(2)假设当n=k时，命题成立，即若k个正数的乘积a1a2…ak=1，则a1+a2+…+ak≥k.当n=k+1时，已知k+1个正数a1,a2,…,ak满足条件a1a2…ak+1=1.若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1都相等，则它们都是1.其和为k+1，命题成立.若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1不全相等

6、，则其中必有大于1的数，也有小于1的数.不妨设a1>1,a2<1有归纳假设可得到：a1+a2+…+ak+ak+1≥k(1)我们要证a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1(2)由(1)(2)得：a1+a2-a1a2≥1.(3)则(1)+(3)=(2).由于a1>1,a2<1得(a1-1)(a2-1)<0,即a1+a2-a1a2>1.于是目标得证，即：当n=k+1时命题成立.由(1)(2)可知，原命题成立.课堂小结本节用数学归纳法证明不等式通过4个例题由浅入深的讨论如何通过“奠基”“假设和递推”证明含有任意正整数n的不等式.随堂练习1.对任意的nN+,试比较n!与2n-1的大小，证明你的结论.解:

7、对任意的nN+,有n!≥2n-1可用数学归纳法证明此结论.(1)当n=1时，命题成立.(2)假设当n=k(k≥1)时，命题成立.即k!≥2k-1.当n=k+1时，(k+1)!=k!(k+1)≥2k-1(k+1)≥2k.所以，当n=k+1时，命题成立.由(1)(2)知，命题对一切正整数成立.2.用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n,不等式都成立.习题答案习题4.2（第53页）