正文描述:《2018-2019学年高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式导学案 新人教B版选修4-5》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2 用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式,特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式.2.了解贝努利不等式,学会贝努利不等式的简单应用.3.会用数学归纳法证明贝努利不等式.自学导引1.贝努利不等式:设x>-1,且x≠0,n为大于1的自然数,则(1+x)n>1+nx.2.设α为有理数,x>-1,如果0<α<1,则(1+x)α≤1+αx;如果α<0或者α>1,则(1+x)α≥1+αx,当且仅当x=
2、0时等号成立.基础自测1.若不等式+++…+<对于一切n∈N*恒成立,则自然数m的最小值为( )A.8B.9C.10D.12解析 显然n=1时,左边最大为<,∴m的最小值为8,选A.答案 A2.关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是( )A.n∈N+B.n≥4C.n>4D.n=1或n>4解析 n=4,24=42=16,n=1时,2>1,n=5,25=32,52=25,∴当n>4时,2n>n2成立,故选D.答案 D3.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=++,则T与0的关系是________
3、.解析 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,即2ab+2bc+2ac=-(a2+b2+c2)<0,∵abc>0,上述不等式两边同时除以2abc,得T=++<0.答案 T<0知识点1 用数学归纳法证明绝对值不等式【例1】设x1,x2,…,xn为实数,证明:
4、x1+x2+…+xn
5、≤
6、x1
7、+
8、x2
9、+…+
10、xn
11、.证明 (1)∵
12、x1+x2
13、≤
14、x1
15、+
16、x2
17、,∴n=2时命题成立.(2)设命题n=k(k≥2)时成立,即
18、x1+x2+…+xk
19、≤
20、x1
21、+
22、x2
23、+…
24、+
25、xk
26、,于是,当n=k+1时,
27、x1+x2+…+xk+1
28、=
29、(x1+x2+…+xk)+xk+1
30、≤
31、x1+x2+…+xk
32、+
33、xk+1
34、≤
35、x1
36、+
37、x2
38、+…+
39、xk
40、+
41、xk+1
42、.即当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对于任意n∈N*命题都成立.1.证明不等式
43、sinnθ
44、≤n
45、sinθ
46、(n∈N+).证明 (1)当n=1时,上式左边=
47、sinθ
48、=右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时,命题成立,即有
49、sinkθ
50、≤k
51、sinθ
52、.当n=k+1时,
53、sin(k+1)θ
54、=
55、sin
56、(kθ+θ)
57、=
58、sinkθcosθ+coskθ·sinθ
59、≤
60、sinkθcosθ
61、+
62、coskθ·sinθ
63、≤
64、sinkθ
65、+
66、sinθ
67、≤k
68、sinθ
69、+
70、sinθ
71、=(k+1)
72、sinθ
73、.即当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知,不等式对一切正整数n均成立.知识点2 用数学归纳法证明平均值不等式【例2】设a1,a2,…,an为n个正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.证明 不妨设an≥an-1≥…≥a1>0,若a1=an,则a1=a2=…=an,此时原不等式中等号成立.设an>a1(n
74、≥2).(1)n=2时,由基本不等式>,所以命题对n=2成立.(2)设n=k时,不等式成立,即≥.记Ak=,所以有:(Ak)k≥a1a2…ak.当n=k+1时,因为ak+1>a1,ak+1≥a2,ak+1≥a3,…,ak+1≥ak,所以ak+1-Ak==>0,则有ak+1>Ak.根据二项式定理及归纳假设得:===(Ak)k+1+(k+1)(Ak)k+…+>(Ak)k+1+(Ak)k(ak+1-Ak)=(Ak)k+1+(Ak)kak+1-(Ak)k+1=(Ak)kak+1≥a1a2…akak+1.即>.由(1)(2
75、)知,对任意的n∈N*命题都成立.●反思感悟:用数学归纳法证明不等式的第二步,设n=k时命题成立,证n=k+1时命题也成立时,往往要通过放缩法来实现n=k+1时命题所需要的形式.2.证明:如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an的乘积a1a2…an=1,那么它们的和a1+a2+…+an≥n.证明 (1)当n=1时,a1=1,命题成立.(2)假设当n=k时,命题成立.即若k个正数的乘积a1a2…ak=1,则a1+a2+…+ak≥k.当n=k+1时,已知k+1个正数a1,a2,…,ak,ak+1满足条件a1a2
76、…ak+1=1.若这k+1个正数a1,a2,…,ak,ak+1都相等,则它们都是1,其和为k+1,命题得证.若这k+1个正数a1,a2,…,ak,ak+1不全相等,则其中必有大于1的数也有小于1的数(否则与a1a2…ak+1=1矛盾).不妨设a1>1,a2<1.为利用归纳假设,我们把乘积a1a2看作一个数,这样就得到k个正数a1a2,a3,…,ak,ak+1的乘积是1,由
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