高中数学第3章数学归纳法与贝努利不等式3.1.1数学归纳法原理3.1.2数学归纳法应用举例讲义新人教B版

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1、3.1.1　数学归纳法原理3.1.2　数学归纳法应用举例学习目标：1.理解数学归纳法的原理及其使用范围.2.会利用数学归纳法证明一些简单问题．教材整理1　归纳法由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法．设函数f(x)＝(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……根据以上事实，归纳推理，得当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.[解析]　依题意，先求函数结果的分母中x项的系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…可推知an＝2n－1.又

2、函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项bn＝2n，所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.[答案]　教材整理2　数学归纳法对于某些与自然数有关的数学命题，常采用下面的方法和步骤来证明它的正确性：(1)证明当n取初始值n0(例如n0＝0，n0＝1等)时命题成立．(2)假设当n＝k(k为自然数，k≥n0)时命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确．这种证明方法叫做数学归纳法.数学归纳法的概念【例1】　用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边

3、计算的结果是(　　)A．1　　　　　B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3[精彩点拨]　注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.[自主解答]　实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an＋1，所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.[答案]　C1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.2．递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．1．下列四个判断中，正确的是(　　)A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)，当n＝1时为1B．式子1＋k＋k2

4、＋…＋kn－1(n∈N＋)，当n＝1时为1＋kC．式子＋＋＋…＋(n∈N＋)，当n＝1时为1＋＋D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋[解析]　对于选项A，n＝1时，式子应为1＋k；选项B中，n＝1时，式子应为1；选项D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.[答案]　C用数学归纳法证明等式【例2】　用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．[精彩点拨]　要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增两项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．[自主解答]　①当n＝1时，左边＝

5、1－＝＝＝右边，所以等式成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.则当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋－＝＋＝＋…＋＋＋＝右边，所以，n＝k＋1时等式成立．由①②知，等式对任意n∈N＋成立．1．用数学归纳法证明恒等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成

6、立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．2．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(其中n∈N＋)．[证明]　(1)当n＝1时，等式左边＝＝，等式右边＝＝，∴等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即＋＋…＋＝成立，那么当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，即n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N＋等式均成立.数学归纳法证明整除问题【例3】　求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N＋.[精彩点拨]　对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那么A能被B整除．若A，B都能被C整除，则A＋B，A－B也能被C整除．[自主解答]　(

7、1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋