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1、第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理1.了解数学归纳法的原理.2.了解数学归纳法的应用范围.3.会用数学归纳法证明一些简单问题.1.归纳法由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常称为归纳法.名师点拨根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部,归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法.(1)不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特例得到一般结论的推理方法.不完全归纳法所得到的命题不一定是成立的,但它是一种重要的思考问题的方法,是研究数学问题的一把钥匙,是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径.(
2、2)完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,又叫枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时,采用完全归纳法.【做一做1-2】从1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,…,猜想第n个式子为.2.数学归纳法一般地,当要证明一个命题对于不小于某正数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k(k∈N,且k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.完成两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立,这种证明方法称为
3、数学归纳法.名师点拨1.这两个步骤缺一不可,只完成步骤(1)而缺少步骤(2),就作出判断可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1),无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判定.同样,只有步骤(2)而缺少步骤(1),也可能得出不正确的结论.缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤(2)也就没有意义了.2.用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立?n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时命题成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明.3.用数学归
4、纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析.【做一做2-1】下列说法中不正确的是()A.数学归纳法中的两个步骤相互依存,缺一不可B.数学归纳法证明的是与正整数有关的命题C.数学归纳法证明的第一步是递推的基础,第二步是递推的依据D.数学归纳法中第一步必须从n=1开始答案:D故当n=k+1时,不等式成立.上述的证明过程中,不正确的一步的序号为.解析:在(2)中,由n=k到n=k+1的证明,没有用上归纳假设,故(2)错误.答案:(2)1.为什么数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题呢?剖析:这是因为第一步首先验证了n取第一个值
5、n0时命题成立,这样假设就有了存在的基础.假设当n=k时命题成立,根据假设和合理推证,证明出当n=k+1时命题也成立.这实质上是证明了一种循环.如验证了当n0=1时命题成立,又证明了当n=k+1时命题也成立,这就一定有当n=2时命题成立,当n=2时命题成立,则当n=3时命题也成立;当n=3时命题成立,则当n=4时命题也成立.如此反复,以至无穷.对所有n≥n0的正整数命题就都成立了.数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题,这就是数学方法的神奇.2.什么时候可以运用数学归纳法证明,证明时n0是否一定要为1?剖析:数学归纳法一般被用于证明某些涉及正整数n的命题,n可取无限多
6、值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明(n∈N*)的单调性就难以实现,一般说来,从n=k到n=k+1时,若问题中存在可利用的递推关系,则使用数学归纳法就较简单,否则使用数学归纳法就有困难.在运用数学归纳法时,要注意起点n并非一定取1,也可能取2等值,要看清题目,比如证明凸n边形的内角和f(n)=(n-2)×180°,这里面的n应不小于3,即n≥3,第一个值n0=3.题型一题型二题型三题型四用数学归纳法证明恒等式【例1】用数学归纳法证明:分析:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的关键是第二步,要注意当n=k+1时等式两边的式子与n
7、=k时等式两边的式子的联系,增加了哪些项,减少了哪些项,问题就会顺利解决.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型四题型三用数学归纳法证明整除性问题【例2】求证:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,n∈N*.分析:对于多项式A,B,如果A=BC,C也是多项式,那么A能被B整除.若A,B都能被C整除,则A+B,A-B也能被C整除.证明:(1)当n=1时,a1+1+(a+1)2×1-1=a2+a+1,命题显然成立.(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥1)时,
