高中数学第三章数学归纳法与贝努利不等式本章复习导学案新人教B版.docx

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1、第三章数学归纳法与贝努利不等式本章复习课1.理解数学归纳法原理，会用数学归纳法证明与正整数有关的等式、不等式、整除性问题和几何问题.2.会用数学归纳法证明绝对值不等式、均值不等式、柯西不等式和贝努利不等式，会用贝努利不等式证明有关的简单问题.知识结构—知识梳理1.数学归纳法及其原理数学归纳法是证明一些与正整数有关的数学命题的一种方法.即先证明当n取第一个值n0(例如n0＝1)时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立.这种证明方法叫做数学归纳法.2.数学归纳法主

2、要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.3.运用数学归纳法时易犯的错误(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错.(2)没有利用归纳假设.(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对

3、推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性.典例剖析知识点1　归纳、猜想、证明问题9【例1】已知x＋＝2cosθ，(1)计算x2＋及x3＋的值；(2)归纳出xn＋(n∈N*)的值，再用数学归纳法证明.解　(1)x2＋＝－2＝22cos2θ－2＝2(2cos2θ－1)＝2cos2θx3＋＝－3，＝8cos3θ－3×2cosθ＝2cos3θ.(2)由(1)猜想xn＋＝2cosnθ(n∈N*)证明：①当n＝1，2时，由(1)已证②假设n＝k及n＝k－1时，命题成立，即xk＋＝2coskθ，xk－1＋＝2cos(k－1)θ(k≥2

4、，k∈N*)则n＝k＋1时，xk＋1＋＝－＝4coskθcosθ－2cos(k－1)θ＝2[cos(k＋1)θ＋cos(k－1)θ]－2cos(k－1)θ＝2cos(k＋1)θ∴当n＝k＋1时，命题也成立，由①、②知，对一切n∈N*都有xn＋＝2cosnθ.知识点2　探索性问题【例2】是否存在常数a，b，c使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切n∈N*都成立？并证明你的结论.解　假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)中，令n＝1，得4＝(

5、a＋b＋c)①9令n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)②令n＝3，得70＝9a＋3b＋c③由①②③解得a＝3，b＝11，c＝10，于是，对于n＝1，2，3，都有1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)(*)成立.下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，(*)式都成立.假设n＝k时，(*)成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)，那么1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k2＋5k＋12k＋24)＝[3(

6、k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，由此可知，当n＝k＋1时，(*)式也成立.综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时题设的等式对于一切n∈N*都成立.知识点3　与数列通项有关的归纳、猜想、证明【例3】设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*.(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想an的一个通项公式；(2)当a1>3时，证明对所有n≥1有①an≥n＋2；②＋＋…＋≤.(1)解　由a1＝2，an＋1＝a－nan＋1得：a2＝a－a1＋1＝3，a3＝a－2a2＋1＝4a4＝a－3a3＋1＝5由此可推测数列{an}的

7、一个通项公式是an＝n＋1.(2)证明　①当n＝1时，a1>3＝1＋2，不等式成立.9假设n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2k＋5≥k＋3即ak＋1≥(k＋1)＋2，因此不等式成立.∴an≥n＋2对于n∈N*都成立.②由an＋1＝a－nan＋1及(1)知当k≥2时，ak＝a－(k－1)ak－1＋1＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2ak－1＋1ak＋1≥2(ak－1＋1)，即≥2∴ak＋1≥2k－1(

8、a1＋1)，≤·(k≥2)＋＋…＋≤＝≤≤.知识点4　用数学归纳法证明三角等式【例4】用数学归纳法证明tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(n－1)α·tannα＝－n(n≥2，n∈N*).证明　(1